"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Теорема Чевы помогает выяснить, пересекаются ли три отрезка, проведённые из вершин треугольника к противоположным сторонам, в одной точке. Для этого достаточно сравнить с единицей произведение трёх отношений отрезков на этих сторонах. Правило работает и в обратную сторону: по равенству произведения можно установить, что все три цевианы имеют общую точку. С помощью теоремы также находят неизвестное отношение на стороне треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. В треугольнике ABC отрезок AD проведён из A к стороне BC, BE — из B к CA, а CF — из C к AB. Эти обозначения помогают сразу увидеть, какая вершина и какая сторона участвуют в задаче.
Точка деления стороны — точка, расположенная на стороне треугольника и разделяющая её на два отрезка. Например, D делит BC на BD и DC, E делит CA на CE и EA, а F делит AB на AF и FB. Именно пары этих отрезков образуют отношения BD/DC, CE/EA и AF/FB.
Конкурирующие прямые — прямые, проходящие через одну общую точку. Для теоремы Чевы рассматривают прямые, содержащие цевианы AD, BE и CF: общая точка означает, что все три прямые сходятся в одном месте. Это понятие позволяет сформулировать задачу не только об отрезках, но и об их пересечении.
Теорема Чевы связывает положение точек D, E, F с пересечением соответствующих цевиан. Для точек внутри сторон она утверждает: цевианы пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений BD/DC, CE/EA и AF/FB равно 1. Теорема нужна, чтобы проверять наличие общей точки или находить неизвестное отношение.
Расположим D на BC, E на CA, F на AB и проведём AD, BE, CF. В отношении BD/DC берутся два отрезка стороны BC, разделённой точкой D; CE/EA относится к CA, а AF/FB — к AB. Такой порядок не случаен: каждому отрезку соответствует цевиана из противоположной вершины, поэтому отношения описывают все три стороны треугольника.
Прямая теорема Чевы формулируется так: если точки D, E, F лежат внутри сторон, то цевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB) = 1. Условие «тогда и только тогда» объединяет два направления: из пересечения следует равенство, и из равенства следует пересечение. Оно особенно полезно, потому что вместо поиска координат точки пересечения достаточно сравнить отношения на сторонах.
Если известны две точки деления и цевианы через них уже имеют общую точку, третье отношение можно найти из равенства произведения единице. Например, если BD/DC = 2/3 и CE/EA = 3/4, то их произведение равно 1/2, поэтому AF/FB должно равняться 2. Значит, точка F делит AB в отношении AF:FB = 2:1; это позволяет определить её положение без вычисления координат общей точки.
Теорему используют и в обратном направлении. Сначала вычисляют произведение трёх отношений; если оно равно 1, обратная теорема Чевы гарантирует общую точку для AD, BE и CF. Поэтому проверка произведения устанавливает пересечение всех трёх цевиан, а не только двух: первые две пересекаются в некоторой точке, и равенство показывает, что третья тоже проходит через неё.
Формула с обычными положительными длинами предназначена для точек внутри сторон, где все отрезки имеют положительные длины. Если точка расположена на продолжении стороны, геометрическая конфигурация меняется, и одного подсчёта положительных длин недостаточно. В общей формулировке используют направленные отрезки: их знаки зависят от направления, поэтому в произведении учитывают знаки отношений.
| Ситуация | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Точки D, E, F лежат внутри сторон BC, CA, AB | Произведение отношений BD/DC, CE/EA и AF/FB равно 1 | Цевианы AD, BE и CF проходят через одну точку |
| Цевианы AD, BE и CF проходят через одну точку | Произведение отношений BD/DC, CE/EA и AF/FB равно 1 | Выполняется условие теоремы Чевы |
Сначала определите, что дано: общая точка цевиан или равенство произведения. Затем выберите соответствующую строку: первая показывает прямое применение теоремы, вторая — обратное. В обоих случаях проверьте, что отношения составлены по нужным сторонам и в заданном порядке.
В треугольнике ABC точка D лежит на BC, причём BD/DC = 2/3; точка E лежит на CA, причём CE/EA = 3/4. Найти AF/FB, если цевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Поскольку пересечение дано, можно применить прямую теорему Чевы и выразить неизвестное отношение из её равенства.
Ответ: AF/FB = 2, то есть AF:FB = 2:1. Отрезок AF вдвое длиннее FB.
В треугольнике ABC точки D, E и F лежат соответственно на сторонах BC, CA и AB. Дано BD/DC = 2, CE/EA = 1/3 и AF/FB = 3/2. Определить, пересекаются ли AD, BE и CF в одной точке. Здесь все три отношения известны, поэтому нужно проверить условие обратной теоремы Чевы.
Ответ: да, цевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Равенство произведения единице здесь служит достаточным условием пересечения.
В треугольнике ABC точки D на BC и E на CA заданы условиями BD:DC = 3:2 и CE:EA = 2:5. Цевианы AD и BE пересекаются в точке P. Через C проведена прямая CP, пересекающая AB в F. Нужно найти AF:FB. По условию все три отрезка AD, BE и CF проходят через P, значит, применима прямая теорема Чевы.
Ответ: AF:FB = 5:3. Точка F делит сторону AB так, что отрезок AF относится к FB как пять к трём.
Перестановка числителя и знаменателя в одном отношении меняет значение произведения: вместо BD/DC можно ошибочно записать DC/BD. Обычно так происходит, когда отношения составляют по памяти, не проверяя порядок букв. Перед вычислением выпишите три пары именно как BD/DC, CE/EA, AF/FB и сверьте, что произведение рассчитано из них.
Другая ошибка — брать отрезки не на той стороне или не у той точки, например использовать AD в отношении, которое должно относиться к BC. Причина в том, что вершина цевианы отвлекает от точки, делящей противоположную сторону. Проверка простая: для AD отношение составляют на BC, для BE — на CA, для CF — на AB.
Иногда равенство произведения единице трактуют как доказательство пересечения лишь двух цевиан. Две прямые действительно задают точку пересечения, но условие Чевы устанавливает, что через эту точку проходит и третья. Чтобы проверить вывод, произнесите его полностью: общую точку имеют все три цевианы AD, BE и CF.
Нельзя без оговорок применять формулу с положительными длинами, если точка находится на продолжении стороны. Так поступают, потому что длины отрезков кажутся достаточными для любой конфигурации, но в общей теореме важны знаки направленных отрезков. Сначала проверьте, лежат ли D, E и F внутри сторон; если нет, учитывайте знак каждого отношения.
Для работы с теоремой Чевы нужно уметь находить отношения отрезков и распознавать цевианы — это основа вычислений по условию. Теорему можно сопоставить с теоремой Менелая: в обеих произведение отношений помогает исследовать конфигурацию, но Чева рассматривает три цевианы с общей точкой. Она также пригодится, когда нужно доказать, что медианы, биссектрисы или другие цевианы пересекаются в одной точке.
Как понять, какие именно отношения нужно перемножать в теореме Чевы?
Для цевианы из каждой вершины берут отрезки на противоположной стороне. Если D лежит на BC, E — на CA, F — на AB, то перемножают BD/DC, CE/EA и AF/FB именно в таком порядке.
Почему в условии теоремы произведение отношений должно быть равно единице?
Когда три цевианы проходят через одну точку, их отношения деления сторон оказываются связанными: произведение этих трёх отношений равно 1. Это равенство можно получить из подобия треугольников или отношений площадей; оно служит проверкой общей точки.
Можно ли с помощью теоремы Чевы найти неизвестный отрезок на стороне треугольника?
Да. Подставьте два известных отношения в равенство произведения, равное 1, и найдите третье. Затем, если известна длина одного из двух отрезков на этой стороне, по найденному отношению можно вычислить второй.
Чем прямая теорема Чевы отличается от обратной?
Прямая теорема начинается с того, что три цевианы пересекаются в одной точке, и позволяет заключить: произведение отношений равно 1. Обратная начинается с равенства произведения единице и позволяет сделать вывод, что цевианы имеют общую точку.
Как применять теорему, если одна из точек находится на продолжении стороны?
В таком случае отношения составляют для направленных отрезков, то есть учитывают их знаки и выбранное направление. Обычные положительные длины подходят для стандартной формулировки, когда все три точки лежат внутри сторон.
84. Теорема Чевы
