"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Теорема Чевы связывает положение трёх отрезков, проведённых из вершин треугольника, с отношениями частей его сторон. Она помогает проверить, пересекаются ли эти отрезки в одной точке, и найти неизвестное отношение, если пересечение уже известно. Главное условие: произведение трёх отношений частей сторон равно 1. Теорема работает и в обратную сторону, а при точках на продолжениях сторон нужно учитывать знаки направленных отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чевиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Например, если D лежит на стороне BC треугольника ABC, то AD — чевиана из вершины A. Это понятие позволяет обсуждать отрезки, проведённые из вершин, не предполагая заранее, что они являются медианами или биссектрисами.
Точка пересечения чевиан — общая точка трёх чевиан, проведённых из разных вершин одного треугольника. Например, отрезки AD, BE и CF могут иметь общую точку. Уточнение про разные вершины существенно: теорема Чевы проверяет именно набор из трёх чевиан, а не любые три отрезка внутри треугольника.
Отношение отрезков на стороне — частное длин частей, на которые точка делит эту сторону. Если D находится на BC, можно рассматривать отношение BD/DC: сначала записана часть от B до D, затем часть от D до C. Порядок важен, потому что DC/BD — уже другое число, и его нельзя подставить вместо исходного без изменения формулы.
Теорема Чевы — критерий, который позволяет установить, проходят ли три чевианы треугольника через одну точку. Он использует отношения частей сторон, а не длины самих чевиан. Поэтому для применения теоремы важно правильно обозначить точки и понять, какую часть стороны ставить в числитель, а какую — в знаменатель.
Рассмотрим треугольник ABC и точки D, E, F на сторонах BC, CA, AB соответственно. Тогда AD соединяет A со стороной BC, BE соединяет B со стороной CA, а CF — C со стороной AB; значит, это чевианы из разных вершин. Такая циклическая расстановка точек задаёт порядок отношений в формуле и помогает не перепутать стороны.
Прямая теорема Чевы утверждает: если AD, BE и CF пересекаются в одной точке, то (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = 1. Верно и обратное утверждение: если произведение этих отношений равно 1, то три чевианы проходят через одну точку. Вместе эти утверждения дают условие «тогда и только тогда»: равенство не просто сопровождает пересечение, а позволяет его проверить в обе стороны.
Почему появляется именно произведение? Пусть чевианы пересеклись в точке P. Отношения частей каждой стороны можно выразить через отношения площадей треугольников, у которых общая высота опущена к этой стороне. Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как основания, а при перемножении трёх отношений площадей величины, связанные с P, сокращаются; остаётся 1.
Чтобы применить обратную теорему, запишите три отношения именно в порядке BD/DC, CE/EA и AF/FB. Затем перемножьте их: если результат равен 1, можно заключить, что чевианы конкурентны, то есть имеют общую точку. Если произведение не равно 1, при внутренних точках чевианы не могут все три пересечься в одной точке. В вычислениях полезно сначала сократить дроби, а потом умножать.
Если D, E и F лежат внутри сторон, все части — обычные положительные длины, поэтому отношения положительны. Если одна из точек находится на продолжении стороны, отношение нельзя составлять только из положительных длин: используют направленные отрезки со знаками. При этом для всех трёх отношений нужно придерживаться одной согласованной системы направлений; иначе знак результата может оказаться неверным.
| Ситуация | Условие или вывод |
|---|---|
| Три чевианы пересекаются в одной точке | Произведение отношений частей сторон равно 1 |
| Произведение отношений равно 1 | Три чевианы пересекаются в одной точке |
| Как найти неизвестное отношение | Выразить его из равенства произведения единице |
| Как проверить расположение точек | Для внутренних точек использовать положительные длины; на продолжениях — направленные отрезки и согласованные знаки |
Сначала определите, какую ситуацию нужно проверить: известна ли общая точка или требуется доказать её существование. Затем подставьте отношения, сохраняя порядок частей, и используйте прямую либо обратную теорему. Если неизвестен один множитель, перенесите в него остальные отношения из равенства произведения единице.
В треугольнике ABC точки D, E, F лежат на сторонах BC, CA, AB. Дано BD/DC = 2, CE/EA = 3, AF/FB = 1/6. Нужно определить, пересекаются ли AD, BE и CF в одной точке. Длины здесь положительны, потому что все точки находятся на сторонах.
Запишем проверяемое условие: (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = 1. Оно необходимо и достаточно для общей точки трёх чевиан.
Подставим данные: 2·3·1/6 = 1. Произведение равно единице, значит, выполняется условие обратной теоремы Чевы.
По обратной теореме заключаем, что AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Здесь важно не просто получить число 1, а связать его с нужной теоремой.
Ответ: да, чевианы пересекаются в одной точке.
Чевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Известно BD/DC = 3/2 и CE/EA = 4/3; требуется найти AF/FB. Общая точка уже дана, поэтому используем прямую теорему Чевы и составляем равенство с неизвестным множителем.
Запишем равенство: (3/2)·(4/3)·(AF/FB) = 1. Порядок отношений сохраняем таким же, как в формуле.
Перемножим известные множители: (3/2)·(4/3) = 2. Тогда 2·(AF/FB) = 1, откуда AF/FB = 1/2.
Проверим результат подстановкой: 2·1/2 = 1. Значит, найденное отношение согласуется с условием пересечения чевиан.
Ответ: AF/FB = 1/2.
Точка D делит BC так, что BD:DC = 2:1, точка E делит CA так, что CE:EA = 3:2, а точка F делит AB так, что AF:FB = 1:3. Требуется доказать, что AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Все точки лежат внутри сторон, поэтому отношения составляем по обычным длинам.
Переведём отношения в дроби: BD/DC = 2/1 = 2, CE/EA = 3/2, AF/FB = 1/3. Запись частей в заданном порядке нужна, чтобы применить формулу без перестановок.
Вычислим произведение: 2·(3/2)·(1/3) = 1. Сокращение показывает, что условие обратной теоремы выполнено.
По обратной теореме Чевы заключаем, что AD, BE и CF проходят через одну общую точку. Так доказательство сводится к проверке отношений, а искать координаты точки пересечения не требуется.
Ответ: чевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Переставляют части в одном отношении, например вместо BD/DC записывают DC/BD. Так делают, потому что обе записи выглядят как отношение двух частей одной стороны, но они взаимно обратны и меняют произведение. Перед вычислением сверяйте каждую дробь с порядком в формуле Чевы; можно отдельно подчеркнуть числитель и знаменатель.
Путают соответствие точек сторонам и неверно составляют множитель. Причина обычно в том, что точки обозначены на разных сторонах, а формула обходится по циклу BC, CA, AB. Проверьте, что D относится к BC, E — к CA, F — к AB, и после этого выпишите BD/DC, CE/EA, AF/FB.
Считают, что равенство произведения единице само по себе доказывает пересечение, не называя обратную теорему. Вычисление подтверждает нужное условие, но геометрический вывод об общей точке даёт именно обратная теорема Чевы. В решении после вычислений добавьте явное заключение: по обратной теореме чевианы конкурентны.
Для точки на продолжении стороны используют отношения обычных положительных длин, не учитывая знаки. Это может привести к неверному знаку произведения, потому что направленный отрезок зависит от выбранного направления. Если точка внешняя, обозначьте направления и применяйте одну согласованную систему знаков ко всем отношениям.
Для решения задач нужны свойства отношений отрезков: важно уметь находить части стороны и записывать их в заданном порядке. Полезно повторить подобие треугольников и отношения площадей фигур с общей высотой, поскольку через них объясняется формула Чевы. Теорема помогает доказывать пересечение медиан и других специальных чевиан, а также решать задачи о точках на сторонах треугольника.
Что называют чевианой?
Чевиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Например, если D лежит на BC, то AD — чевиана треугольника ABC.
Какие именно три отрезка проверяют по теореме Чевы?
Берут по одной чевиане из каждой вершины: AD, BE и CF, где D лежит на BC, E — на CA, F — на AB. Теорема проверяет, имеют ли все три отрезка общую точку.
Почему в условии теоремы перемножаются отношения частей сторон?
Каждое отношение частей стороны можно выразить через отношения площадей треугольников с общей высотой. Если чевианы проходят через одну точку, при перемножении эти отношения сокращаются, и получается 1.
Можно ли по теореме Чевы доказать, что три отрезка пересекаются в одной точке?
Да. Если произведение отношений частей сторон равно 1, обратная теорема Чевы позволяет заключить, что три чевианы конкурентны, то есть проходят через одну точку.
Как применять теорему, если одна из точек лежит на продолжении стороны?
В этом случае используют направленные отрезки, а не только их положительные длины. Нужно выбрать согласованное правило знаков и применить его ко всем отношениям в формуле.
3.2. Теорема Чевы
