"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Теорема Чевы связывает деление сторон треугольника с пересечением чевиан — отрезков, проведённых из вершин к противоположным сторонам. Если три чевианы проходят через одну точку, произведение отношений частей сторон равно 1; верно и обратное. Это правило помогает доказать пересечение трёх отрезков или вычислить неизвестное отношение, не находя координаты точки пересечения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Если A₁ лежит на BC, то AA₁ — чевиана из вершины A. Это название помогает отличать такие отрезки от любых других отрезков внутри треугольника.
Точка пересечения чевиан — общая точка трёх прямых, проведённых из вершин треугольника к противоположным сторонам. Если AA₁, BB₁ и CC₁ проходят через одну точку, говорят, что чевианы пересекаются в одной точке. Это свойство и нужно установить или проверить в задачах на теорему Чевы.
Отношение отрезков на стороне показывает, во сколько раз одна часть стороны больше или меньше другой. Например, если точка A₁ делит BC, то BA₁/A₁C — отношение части от B до A₁ к части от A₁ до C. Оно учитывает не сами длины отдельно, а их сравнение, поэтому позволяет описать положение точки на стороне.
Теорема Чевы связывает отношения частей сторон треугольника с пересечением трёх чевиан. Если произведение этих отношений равно единице, чевианы проходят через одну точку; верно и обратное. Значит, теорема нужна как для доказательства пересечения, так и для нахождения неизвестного отношения.
Рассмотрим треугольник ABC и точки A₁, B₁, C₁ на сторонах BC, CA и AB соответственно. Проведём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — это чевианы. Такое расположение обозначений важно: каждая точка должна находиться именно на стороне, противоположной вершине, из которой проведена чевиана.
Для этих точек теорема записывается так: (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = 1. В первом отношении сравниваются части BC, во втором — части CA, в третьем — части AB. Порядок в каждой дроби задаётся записью сторон: от вершины, стоящей первой, до точки деления, а затем от точки до следующей вершины.
Прямое утверждение говорит: если AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, то произведение трёх записанных отношений обязательно равно 1. Причина в том, что положение общей точки задаёт согласованные пропорции на всех трёх сторонах. При перемножении эти соотношения связываются так, что их произведение сокращается до единицы.
Обратное утверждение работает в противоположном направлении. Если произведение отношений равно 1, то чевианы AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке; проведённая через эту точку прямая из C должна пересечь AB в точке C₁. По теореме для двух уже пересекающихся чевиан третье отношение определяется однозначно, поэтому оно совпадает с данным. Значит, CC₁ проходит через ту же точку.
Практическая польза теоремы состоит в том, что координаты точки пересечения искать не требуется. Чтобы проверить пересечение, достаточно перемножить три отношения; если результат равен 1, чевианы конкурентны, то есть имеют общую точку. Если неизвестно одно отношение, из равенства выражают его через два известных. Такой расчёт также показывает, как должна быть расположена точка на стороне.
| Что известно | Условие | Что следует |
|---|---|---|
| Три чевианы пересекаются в одной точке | Произведение отношений частей противоположных сторон равно 1 | Произведение отношений равно 1 |
| Произведение отношений равно 1 | Произведение отношений частей противоположных сторон равно 1 | Три чевианы пересекаются в одной точке |
В первой строке применяют прямое утверждение: известное пересечение позволяет заключить, что произведение равно 1. Во второй строке используют обратное утверждение, чтобы доказать пересечение. Сначала проверь, что отношения составлены для соответствующих сторон и в нужном порядке, а затем выбирай направление рассуждения.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ лежат соответственно на BC, CA и AB. Даны BA₁/A₁C = 2, CB₁/B₁A = 3 и AC₁/C₁B = 1/6. Нужно определить, пересекаются ли AA₁, BB₁ и CC₁ в одной точке.
Ответ: да, чевианы пересекаются в одной точке. Проверка произведения сразу отвечает на вопрос, поэтому строить точку пересечения или искать её координаты не нужно.
Чевианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Известно, что BA₁/A₁C = 3/4 и CB₁/B₁A = 2. Требуется найти AC₁/C₁B.
Ответ: AC₁/C₁B = 2/3. Подстановка результата даёт (3/4)·2·(2/3) = 1, поэтому найденное отношение согласуется с условием.
В треугольнике ABC точка A₁ делит BC в отношении BA₁:A₁C = 2:1, а точка B₁ делит CA в отношении CB₁:B₁A = 3:2. Нужно найти отношение AC₁:C₁B, при котором чевианы пересекутся в одной точке.
Ответ: AC₁:C₁B = 1:3. При таком делении стороны AB произведение отношений равно единице, значит, по обратной теореме Чевы чевианы пересекаются в одной точке.
Переставлять части в одном отношении. Например, вместо BA₁/A₁C записывают A₁C/BA₁, но остальные дроби оставляют прежними. Так одно отношение заменяется обратным, и произведение может перестать быть равным 1. Проверяй, что во всех трёх дробях порядок соответствует формуле теоремы.
Путать стороны, на которых лежат точки. Иногда A₁ относят к стороне CA или B₁ — к AB, хотя по обозначениям A₁ лежит на BC, B₁ — на CA, C₁ — на AB. Ошибка приводит к неверному выбору частей стороны. Перед вычислениями подпиши каждую точку и проверь, что чевиана начинается в противоположной вершине.
Забывать обратное утверждение. Ученик может считать, что равенство произведения 1 лишь подтверждает уже известное пересечение. Но теорема Чевы работает и наоборот: такое равенство доказывает, что чевианы проходят через одну точку. Спроси себя, что дано в задаче — пересечение или произведение, — и выбери нужное направление.
Подставлять длины вместо отношений. В формулу нельзя просто перемножить длины BA₁, CB₁ и AC₁: она требует отношений двух частей каждой стороны. Ошибку допускают, когда теряют знаменатели при переносе данных из условия. Запиши для каждой стороны дробь из двух частей и только затем перемножай.
Для применения теоремы нужны отношения отрезков, свойства пропорций и умение обозначать стороны треугольника. Например, запись 2:1 превращается в дробь 2/1, а неизвестный множитель находят из произведения. Поэтому полезно уверенно выполнять действия с дробями и проверять результат подстановкой.
Теорема Чевы применяется в задачах на доказательство пересечения чевиан и на деление сторон треугольника. Она помогает перейти от геометрического условия к вычислениям с отношениями, а затем обратно сделать вывод о пересечении. Это связывает свойства треугольника с практическими задачами на пропорции.
Что называют чевианой?
Чевиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Например, если A₁ лежит на BC, то AA₁ — чевиана.
Как правильно записать условие теоремы Чевы?
Если A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на BC, CA, AB, то условие имеет вид (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = 1. Оно выполняется тогда и только тогда, когда чевианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
Как понять, в каком порядке брать отрезки в отношениях?
Для каждой стороны сначала берут часть, идущую от вершины, затем часть от точки деления до следующей вершины в записи. Например, на BC пишут BA₁/A₁C, а на CA — CB₁/B₁A. Важно сохранять согласованный порядок во всех трёх отношениях.
Можно ли с помощью теоремы Чевы найти неизвестное отношение?
Да. Подставьте два известных отношения в равенство теоремы и выразите третье. Например, если первые два равны 3/4 и 2, третье должно быть 1 ÷ (3/4 · 2) = 2/3.
Почему равенство произведения единице означает, что чевианы пересекаются?
Это следует из обратной части теоремы Чевы: для точек на сторонах треугольника произведение указанных отношений, равное 1, гарантирует пересечение трёх чевиан в одной точке. Поэтому равенство не только проверяет уже известное пересечение, но и позволяет его доказать.
96. Теорема Чевы
