§ 4. Эллипс, гипербола и парабола

Определения и обозначения

Эллипс — множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек постоянна. Эти точки называют фокусами эллипса. Свойство позволяет построить кривую и перейти от геометрического описания к уравнению.

Гипербола — множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек постоянен. Две заданные точки также называют фокусами гиперболы. Это определение объясняет, почему гипербола распадается на две ветви.

Парабола — множество точек, равноудалённых от заданной точки и заданной прямой. Точка называется фокусом, а прямая — директрисой. Такое определение задаёт положение и форму параболы через равенство двух расстояний.

Каноническое уравнение — уравнение коники в специально выбранной системе координат. Начало координат совмещают с центром эллипса или гиперболы, а оси направляют вдоль осей симметрии; для параболы учитывают её ось. Благодаря этому уравнения становятся простыми и сразу показывают основные элементы фигуры.

Как это устроено

Выбор координат связан с симметрией кривой: центр эллипса или гиперболы удобно поместить в начало координат, а оси направить вдоль её осей. Для точки (x; y) расстояния до фокусов записывают по формуле расстояния между точками. После возведения равенства в квадрат и упрощения получают каноническое уравнение, в котором параметры отвечают за размеры фигуры.

Пусть фокусы эллипса находятся в точках (−c; 0) и (c; 0), а сумма расстояний равна 2a. Симметрия относительно обеих координатных осей приводит к уравнению x²/a² + y²/b² = 1, где a и b — полуоси. Из геометрического расположения фокусов следует связь c² = a² − b²: фокусы находятся внутри эллипса, поэтому c меньше a.

Для гиперболы фокусы располагают в точках (−c; 0) и (c; 0), а модуль разности расстояний равен 2a. После преобразований получается x²/a² − y²/b² = 1. Знак «плюс» перед x² показывает, что поперечная ось направлена вдоль Ox, а наличие разности объясняет две ветви; здесь c² = a² + b².

Рассмотрим параболу с фокусом (p/2; 0) и директрисой x = −p/2. Для точки (x; y) равенство расстояний до них после возведения в квадрат даёт y² = 2px. Поэтому при p > 0 ветви направлены вправо, а при вертикальной оси аналогично получают x² = 2py; знак p задаёт сторону открытия.

Параметры в канонических уравнениях имеют геометрический смысл. У эллипса a и b — полуоси, у гиперболы a задаёт вершины, b влияет на наклон ветвей, а c определяет положение фокусов. Асимптоты гиперболы показывают направления, к которым приближаются её ветви: для горизонтальной гиперболы это y = ±(b/a)x.

Сравнение эллипса, гиперболы и параболы

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм распознавания кривой. Сначала сравните вид уравнения с каноническим, затем определите оси симметрии и вычислите нужные параметры. После этого можно восстановить фокусы, вершины, директрису или асимптоты.

Разбор задач

1. Эллипс по уравнению

Дано уравнение x²/9 + y²/4 = 1. Оно уже записано в каноническом виде эллипса, поэтому нужно только сопоставить знаменатели с квадратами полуосей. Затем определим направление большей оси и положение фокусов.

1. Сравниваем с x²/a² + y²/b² = 1: a² = 9, b² = 4, значит, a = 3 и b = 2.
2. Больший знаменатель стоит под x², поэтому большая ось лежит на оси Ox; вершины по этой оси: (−3; 0) и (3; 0).
3. Вычисляем c² = a² − b² = 9 − 4 = 5, поэтому фокусы имеют координаты (−√5; 0) и (√5; 0).

Ответ: эллипс с полуосями 3 и 2, большой осью Ox, фокусами (±√5; 0).

2. Фокусы и асимптоты гиперболы

Рассмотрим уравнение x²/16 − y²/9 = 1. Знак «плюс» стоит перед дробью с x², значит, ветви направлены вправо и влево. Найдём остальные элементы по формулам для горизонтальной гиперболы.

1. Получаем a² = 16, b² = 9, следовательно, a = 4 и b = 3.
2. Используем связь для гиперболы: c² = a² + b² = 16 + 9 = 25, поэтому c = 5.
3. Фокусы находятся на оси Ox: (−5; 0) и (5; 0). Асимптоты имеют вид y = ±(b/a)x, то есть y = ¾x и y = −¾x.

Ответ: фокусы (−5; 0), (5; 0); асимптоты y = ¾x и y = −¾x; ветви направлены вдоль Ox.

3. Уравнение параболы

Фокус параболы имеет координаты (0; 3), а директриса задана уравнением y = −3. Фокус и директриса расположены симметрично относительно вершины, поэтому ось параболы совпадает с осью Oy. Запишем равенство расстояний для произвольной точки (x; y).

1. Расстояние до фокуса равно √(x² + (y − 3)²), а расстояние до прямой y = −3 равно |y + 3|.
2. Приравниваем расстояния и возводим обе части в квадрат: x² + (y − 3)² = (y + 3)².
3. Раскрываем скобки: x² + y² − 6y + 9 = y² + 6y + 9, откуда x² = 12y.
4. Сравниваем с x² = 2py: 2p = 12, поэтому p = 6; фокус (0; 3) и директриса y = −3 подтверждают результат.

Ответ: уравнение параболы x² = 12y.

Типичные ошибки

Эллипс и гиперболу иногда путают, потому что обе кривые имеют два фокуса. Ошибка состоит в замене суммы расстояний их разностью или наоборот. Проверка проста: у эллипса получается замкнутая линия, а у гиперболы — две ветви.

Направление осей гиперболы определяют не по первому написанному слагаемому, а по знаку «плюс» в каноническом уравнении. Положительный квадрат показывает поперечную ось и направление ветвей. Подставьте точку вершины: у x²/a² − y²/b² = 1 вершины лежат на оси Ox.

Для гиперболы иногда используют формулу c² = a² − b², предназначенную для эллипса. Это происходит из-за похожих обозначений полуосей. Запомните: у гиперболы c² = a² + b², поэтому фокусы находятся дальше вершин от центра.

Параметр p в уравнении параболы не равен расстоянию от вершины до фокуса. Расстояние между фокусом и директрисой равно p, а каждое из расстояний от вершины равно p/2. Проверить себя можно по координатам: для y² = 2px фокус — (p/2; 0), директриса — x = −p/2.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны формула расстояния между точками, расстояние от точки до прямой и преобразование алгебраических выражений. Также полезно знать уравнение окружности и свойства симметрии координатной плоскости. Эти навыки позволяют переводить геометрическое условие в уравнение.

Коники развивают координатный метод и подготавливают к аналитической геометрии. Их используют для описания траекторий движения тел, орбит, отражения света и формы некоторых технических конструкций. Поэтому параметры уравнений связывают алгебраическую запись с реальной геометрией кривой.

Что запомнить

• Эллипс задаётся постоянством суммы расстояний до двух фокусов.
• Гипербола задаётся постоянством модуля разности расстояний до двух фокусов.
• Точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы.
• Каноническое уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² = 1.
• Каноническое уравнение гиперболы: x²/a² − y²/b² = 1.
• У параболы ось симметрии и направление ветвей определяются тем, какая координата входит в уравнение в квадрате.
• Для эллипса c² = a² − b², а для гиперболы c² = a² + b².