"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Эллипс — замкнутая кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек, фокусов, одинакова. Его изучают как геометрическое место точек и описывают с помощью уравнения. По каноническому уравнению можно определить центр, большую и малую полуоси, а затем найти фокусы и эксцентриситет. Эти характеристики помогают понять форму эллипса и решать задачи, в которых нужно проверить положение точки или составить уравнение кривой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Эллипс — множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек постоянна и больше расстояния между этими точками. Иначе говоря, каждая точка эллипса удовлетворяет одному и тому же условию о двух расстояниях. Это определение позволяет описывать кривую не только рисунком, но и точным геометрическим свойством.
Фокусы эллипса — две заданные точки, до которых измеряют расстояния при определении эллипса; обычно их обозначают F₁ и F₂. Их положение помогает определить, где находится большая ось и насколько эллипс вытянут. Расстояние от центра до каждого фокуса обозначают c.
Большая ось — самый длинный отрезок эллипса, проходящий через центр, а малая ось — перпендикулярный ему отрезок через тот же центр. Длины полуосей обозначают a и b: a — большая полуось, b — малая, поэтому a ≥ b. Полуоси нужны для записи уравнения, а оси показывают основные направления эллипса.
Эксцентриситет — отношение расстояния от центра до фокуса к большой полуоси: e = c/a. Он показывает, насколько форма эллипса отличается от окружности. Для эллипса 0 ≤ e < 1; у некруглого эллипса e > 0, а у окружности e = 0.
Эллипс можно построить с помощью нити, карандаша и двух булавок. Закрепи концы нити в точках F₁ и F₂, помести карандаш внутрь петли и отведи его так, чтобы нить оставалась натянутой. Когда карандаш движется, длины двух участков нити меняются, но их сумма остаётся равной длине нити. Поэтому карандаш описывает именно замкнутую кривую с постоянной суммой расстояний до фокусов.
Центр эллипса находится посередине между фокусами, потому что кривая симметрична относительно точки, которая делит отрезок F₁F₂ пополам. Если обозначить середину через O, поворот на 180° вокруг O переводит каждый фокус в другой, а эллипс — в себя. Большая ось проходит через оба фокуса; малая ось проходит через центр под прямым углом к большой. Такое расположение следует из симметрии эллипса и задаёт удобные направления для координат.
Выберем начало координат в центре O, а оси направим вдоль осей эллипса. Если большая ось лежит на Ox, вершины эллипса находятся в точках (±a, 0) и (0, ±b). Для точки (x, y) условие постоянной суммы расстояний до фокусов после преобразований приводит к x²/a² + y²/b² = 1. Именно поэтому знаменатель a² стоит под переменной вдоль большой оси, а b² — под переменной вдоль малой.
Расстояние от центра до фокуса c связано с полуосями равенством c² = a² − b². Его можно понять из прямоугольного треугольника, образованного центром, фокусом и концом малой полуоси: гипотенуза равна a, а катет вдоль малой оси — b. Значит, другой катет равен c, и теорема Пифагора даёт a² = b² + c². Если большая ось на Ox, фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0); если она на Oy — (0, −c) и (0, c).
Эксцентриситет e = c/a сравнивает смещение фокуса с размером большой полуоси. Когда фокусы находятся ближе к центру, c меньше и эллипс выглядит более округлым; при увеличении c он становится вытянутее. Поскольку c² = a² − b² и b > 0, для некруглого эллипса c < a, поэтому e < 1. У окружности a = b, откуда c = 0 и e = 0.
| Характеристика | Эллипс с большой полуосью по Ox | Эллипс с большой полуосью по Oy |
|---|---|---|
| Каноническое уравнение | x²/a² + y²/b² = 1 | x²/b² + y²/a² = 1 |
| Большая и малая полуоси | a по Ox, b по Oy; a ≥ b | a по Oy, b по Ox; a ≥ b |
| Координаты фокусов | (−c, 0), (c, 0) | (0, −c), (0, c) |
| Связь между a, b и c | c² = a² − b² | c² = a² − b² |
| Эксцентриситет | e = c/a | e = c/a |
Сначала найди больший знаменатель: он указывает направление большой оси и равен a². Из второго знаменателя получи b², затем используй c² = a² − b² для фокусов. Если знаменатели равны, эллипс является окружностью, и оба направления осей равноправны.
Сравним уравнение с видом x²/a² + y²/b² = 1. Знаменатель 25 больше 9 и стоит под x², значит большая полуось направлена вдоль Ox. Получаем a² = 25 и b² = 9.
Извлечём корни: a = 5, b = 3. Для координат фокусов найдём расстояние c от центра до фокуса по формуле c² = a² − b². Тогда c² = 25 − 9 = 16, поэтому c = 4.
При большой оси по Ox фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0). Подставляем найденное значение c и получаем нужные точки. Здесь длины полуосей равны 5 и 3, а фокусы лежат на оси Ox.
Ответ: a = 5, b = 3; F₁(−4, 0), F₂(4, 0).
Фокусы лежат на оси Ox, значит большая ось эллипса направлена вдоль Ox. Центр — середина отрезка между фокусами, то есть начало координат. Расстояние от центра до каждого фокуса равно c = 3, а по условию a = 5.
Найдём малую полуось из c² = a² − b². Переносим слагаемые и получаем b² = a² − c² = 25 − 9 = 16. Значит, под y² в уравнении будет знаменатель 16.
Для большой оси по Ox используем форму x²/a² + y²/b² = 1. Подставляем a² = 25 и b² = 16. Проверка связи даёт 25 − 16 = 9 = c², что согласуется с координатами фокусов.
Ответ: x²/25 + y²/16 = 1.
Подставим координаты точки в уравнение: 3²/25 + 2²/16 = 9/25 + 1/4. Приведём дроби к общему знаменателю: 36/100 + 25/100 = 61/100. Получилось не 1, поэтому точка не принадлежит эллипсу.
Чтобы найти фокусы самого эллипса, читаем знаменатели: a² = 25, b² = 16, большая ось направлена по Ox. Тогда c² = 25 − 16 = 9, значит, фокусы находятся в точках (−3, 0) и (3, 0). Эти точки определяются уравнением, даже если проверяемая точка не лежит на эллипсе.
Найдём расстояние от (3, 2) до каждого фокуса. До точки (3, 0) оно равно 2, а до (−3, 0) — √(6² + 2²) = √40 = 2√10. Складываем полученные расстояния; условие определения эллипса для точки не выполняется, поскольку она не принадлежит кривой.
Ответ: точка не принадлежит эллипсу; сумма расстояний до фокусов равна 2 + 2√10.
Ошибка — считать фокусами концы большой оси. Концы оси имеют координаты (±a, 0), а фокусы — (±c, 0), причём c² = a² − b² и обычно c < a. Их путают, потому что и вершины, и фокусы лежат на одной прямой. Проверь вычисление c и помни, что фокусы находятся внутри эллипса.
Иногда меняют местами a и b или ставят a² не под ту переменную. По определению a — большая полуось, поэтому a ≥ b, а больший знаменатель в уравнении показывает направление большой оси. Если он стоит под x², большая ось направлена вдоль Ox. Сверь обозначения с таблицей, прежде чем находить фокусы.
Формулу c² = a² + b² иногда используют по ошибке, перенося знакомое соотношение из других задач. Для эллипса по теореме Пифагора a² = b² + c², поэтому c² = a² − b². Самопроверка простая: при a ≥ b величина c² должна быть неотрицательной и меньше a².
Не путай сумму расстояний до фокусов 2a с расстоянием между самими фокусами 2c. Оба выражения содержат множитель 2, из-за чего легко перепутать, какое относится к полуоси, а какое — к фокусному расстоянию. Для проверки посмотри на окружность: при c = 0 фокусы совпадают, но сумма расстояний до них по-прежнему равна 2a.
Для работы с эллипсом нужны формула расстояния между точками на координатной плоскости, уравнение окружности и умение преобразовывать алгебраические выражения. Расстояния позволяют проверять определение эллипса, а преобразования помогают получить его каноническое уравнение и вычислить параметры. Позже эллипс будет рассматриваться вместе с другими кривыми второго порядка. Геометрическое место точек также помогает решать задачи, в которых точку задают общим свойством, а не координатами.
Чем эллипс отличается от окружности?
У эллипса две полуоси обычно имеют разную длину, а сумма расстояний от его точки до двух фокусов постоянна. Окружность — частный случай эллипса с равными полуосями и совпадающими фокусами.
Почему сумма расстояний до фокусов не меняется?
Постоянство этой суммы входит в определение эллипса: именно так выбирают все его точки. При построении нить фиксированной длины натягивают между фокусами, поэтому расстояния от карандаша до них вместе имеют неизменную длину.
Как по уравнению понять, где расположена большая ось?
Сравни знаменатели под x² и y² в каноническом уравнении. Больший знаменатель соответствует квадрату большой полуоси: если он под x², большая ось лежит на Ox, а если под y² — на Oy.
Как найти координаты фокусов эллипса?
Сначала определи большую полуось a и малую полуось b, затем вычисли c = √(a² − b²). При большой оси по Ox фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0), а при большой оси по Oy — (0, −c) и (0, c).
Что показывает эксцентриситет?
Эксцентриситет e = c/a характеризует вытянутость эллипса. Чем он ближе к нулю, тем эллипс больше похож на окружность; для настоящего эллипса 0 < e < 1.
97. Эллипс
