§ 39. Эллипс

Определения и обозначения

Эллипс — множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек постоянна. Эти заданные точки называют фокусами, а постоянная сумма равна длине большой оси эллипса. В отличие от окружности, эллипс обычно не имеет одного центра, равноудалённого от всех его точек: его форма определяется двумя фокусами. Если фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность.

Фокусы эллипса — две точки, обозначаемые обычно F₁ и F₂, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса равна 2a. Здесь a — большая полуось, поэтому постоянная сумма равна длине большой оси. Фокусы помогают задать эллипс геометрически: достаточно фиксировать их положение и величину суммы расстояний. По расположению фокусов также можно определить направление большой оси.

Большая и малая оси — отрезки, которые проходят через центр эллипса и соединяют пары противоположных вершин. Большая ось длиннее малой; их длины равны соответственно 2a и 2b, где a и b — полуоси. Фокусы расположены на большой оси, симметрично относительно центра, между ним и вершинами большой оси. Малая ось перпендикулярна большой и проходит через центр.

Эксцентриситет эллипса — отношение расстояния c от центра до фокуса к большой полуоси a: e = c/a. Он показывает степень вытянутости: чем ближе фокусы к центру, тем форма ближе к окружности, а чем дальше — тем эллипс вытянутее. Для эллипса 0 ≤ e < 1. Эксцентриситет позволяет сравнивать формы эллипсов независимо от их размеров.

Как это устроено

Чтобы получить простое уравнение эллипса, выбирают координатную систему так, чтобы его центр находился в начале координат, а большая ось совпадала с осью Ox. Тогда фокусы имеют координаты F₁(−c; 0) и F₂(c; 0), где c — расстояние от центра до каждого фокуса. Выбор осей не меняет саму кривую, но делает координаты её элементов удобными. Благодаря симметрии эллипса относительно обеих осей вершины большой оси имеют координаты (−a; 0) и (a; 0).

Возьмём точку M(x; y) эллипса. По определению сумма расстояний от неё до фокусов равна 2a, а формула расстояния между точками даёт √((x + c)² + y²) + √((x − c)² + y²) = 2a. Преобразуя это равенство, получают каноническое уравнение x²/a² + y²/b² = 1, где b² = a² − c². Поскольку c² неотрицательно, a² ≥ b², то есть a ≥ b; при разных полуосях a > b. Так возникает стандартная запись эллипса с большой осью вдоль Ox.

Связь c² = a² − b² следует из геометрии и одновременно связывает три параметра уравнения. Например, у эллипса с вершиной (a; 0), верхней вершиной (0; b) и фокусом (c; 0) расстояния от вершины большой оси до фокусов равны a − c и a + c. Их сумма равна 2a, как требует определение. Подстановка этой геометрической конфигурации в формулу расстояния приводит к равенству b² = a² − c². Поэтому зная любые две величины из a, b, c, можно найти третью.

По каноническому уравнению сначала находят центр и полуоси. В записи x²/a² + y²/b² = 1 центр — (0; 0), а числа под квадратами координат задают квадраты полуосей: большему знаменателю соответствует большая полуось. Если a > b, большая ось направлена вдоль Ox, вершины — (±a; 0) и (0; ±b), а фокусы — (±c; 0), где c = √(a² − b²). Если большой знаменатель стоит под y², большая ось направлена вдоль Oy, поэтому положения вершин и фокусов меняются местами относительно осей.

Уравнение не меняется при замене x на −x или y на −y, поэтому эллипс симметричен относительно обеих координатных осей. Если одновременно изменить знаки обеих координат, точка тоже останется на эллипсе: значит, центр является центром симметрии. Эксцентриситет равен e = c/a; из c² = a² − b² и b > 0 следует, что c < a, поэтому e < 1. При c = 0 фокусы совпадают, e = 0 и полуоси равны, так что эллипс становится окружностью.

Элементы и свойства эллипса с каноническим уравнением

В этой таблице a и b обозначают параметры при x² и y², поэтому большая полуось — та, квадрат которой стоит в большем знаменателе. Для фокусов c всегда находят по разности квадратов большой и малой полуосей: c² = большая полуось² − малая полуось². Эксцентриситет — отношение c к большой полуоси, даже если большая ось направлена вдоль Oy.

Разбор задач

Задача 1. Даны фокусы F₁(−3; 0), F₂(3; 0) и постоянная сумма расстояний 10. Найдите полуоси эллипса. Чтобы найти полуоси, сначала связываем заданную сумму с большой осью, затем используем координаты фокусов для нахождения c. После этого оставшийся параметр определяем из связи между полуосями и фокусным расстоянием.

1. Постоянная сумма равна 2a, поэтому 2a = 10 и a = 5.
2. Центр фокусов находится в начале координат, а расстояние от центра до каждого фокуса равно c = 3.
3. Используем c² = a² − b²: b² = 25 − 9 = 16, значит, b = 4.

Ответ: большая полуось равна 5, малая — 4. Проверка: сумма расстояний до фокусов должна быть 2a = 10, как задано.

Задача 2. Для эллипса x²/25 + y²/16 = 1 найдите центр, вершины, фокусы и эксцентриситет. Сначала сравним знаменатели: больший стоит под x², значит, большая ось горизонтальна. Затем найдём расстояние до фокусов и используем его для вычисления эксцентриситета.

1. Центр канонического эллипса — (0; 0). Полуоси равны a = √25 = 5 и b = √16 = 4.
2. Вершины большой оси: (−5; 0), (5; 0); малой оси: (0; −4), (0; 4).
3. c² = 25 − 16 = 9, поэтому c = 3. Фокусы: (−3; 0) и (3; 0).
4. e = c/a = 3/5.

Ответ: центр (0; 0), вершины (±5; 0) и (0; ±4), фокусы (±3; 0), эксцентриситет 3/5.

Задача 3. Составьте каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на Oy, если большая ось равна 10, а малая — 8. Фокусы лежат на большой оси, следовательно, большая ось направлена вдоль Oy. В уравнении больший знаменатель поэтому должен стоять под y².

1. Полуоси вдвое меньше соответствующих осей: большая полуось равна 10/2 = 5, малая — 8/2 = 4.
2. Раз большая ось вертикальна, уравнение имеет вид x²/4² + y²/5² = 1.
3. Записываем его в стандартном виде: x²/16 + y²/25 = 1. При желании фокусы можно проверить: c² = 25 − 16 = 9, значит, они расположены в точках (0; −3) и (0; 3).

Ответ: x²/16 + y²/25 = 1. Проверка показывает, что большая полуось равна 5 и направлена вдоль Oy.

Типичные ошибки

Полуоси a и b иногда принимают за полные длины осей. Ошибка возникает потому, что в уравнении фигурируют именно a² и b², но сами отрезки идут от одной вершины до противоположной. Проверяйте длины: большая ось равна 2a, малая — 2b. Если в условии дана длина оси, перед подстановкой в уравнение её нужно разделить пополам.

Бывает, что больший знаменатель относят к малой полуоси. В действительности координата делится на квадрат полуоси: чем больше знаменатель, тем дальше от центра расположена соответствующая вершина. Сравните точки пересечения с осями: для x²/A + y²/B = 1 это (±√A; 0) и (0; ±√B). Поэтому больший знаменатель задаёт большую полуось.

Если фокусы лежат на Oy, иногда оставляют больший знаменатель под x². Так путают расположение фокусов с привычной записью, где большая ось горизонтальна. Проверьте направление по уравнению: большой знаменатель под y² означает вертикальную большую ось и фокусы (0; ±c). Направление оси должно совпасть с линией, на которой лежат фокусы.

Для вычисления c ошибочно складывают квадраты полуосей или получают c > a. Проверка проста: по формуле c² = a² − b² для эллипса всегда c² < a², а значит, 0 ≤ c < a. Если результат противоречит этому неравенству, проверьте, какая полуось большая, и вычтите квадрат меньшей из квадрата большей. При извлечении корня берите неотрицательное расстояние.

Связь с другими темами

Для работы с эллипсом нужны координаты точек и формула расстояния между двумя точками на плоскости. Ими выражают расстояния от произвольной точки до фокусов и переводят геометрическое определение в уравнение. Поэтому полезно уверенно находить координаты и выполнять вычисления с квадратными корнями.

Окружность помогает увидеть частный случай эллипса, а понятия уравнения линии и квадратного уравнения помогают понять переход от определения к канонической записи. Позже эллипс изучают как одно из конических сечений. Он также используется для описания орбит небесных тел, например движения планет вокруг Солнца.

Что запомнить

• Сумма расстояний от точки эллипса до его фокусов постоянна и равна 2a.
• Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат: x²/a² + y²/b² = 1.
• Большая полуось соответствует большему знаменателю.
• Для фокального расстояния выполняется c² = a² − b².
• Эксцентриситет равен e = c/a и меньше 1.
• Если a = b, эллипс превращается в окружность.