§ 22*. Эллипс

Определения и обозначения

Эллипс — замкнутая линия, каждая точка которой имеет постоянную сумму расстояний до двух фиксированных точек. Это условие отличает эллипс от любой просто овальной линии и позволяет точно проверить принадлежность точки фигуре.

Фокусы эллипса — две фиксированные точки, задающие эллипс вместе с постоянной суммой расстояний. Обычно их обозначают F₁ и F₂; зная фокусы и число L, можно проверить условие MF₁ + MF₂ = L.

Большая ось эллипса — отрезок, проходящий через фокусы и соединяющий наиболее удалённые вершины эллипса. Она показывает направление, в котором эллипс вытянут, и является его самой длинной осью.

Малая ось эллипса — отрезок через центр эллипса, перпендикулярный большой оси и соединяющий ближайшие к центру вершины. Она задаёт ширину эллипса в направлении, перпендикулярном его вытянутости.

Как это устроено

Выберем фокусы F₁ и F₂ и число L, большее расстояния F₁F₂. Возьмём точку M так, чтобы MF₁ + MF₂ = L. Если перемещать M, сохраняя это равенство, получится множество точек; его замкнутая граница и есть эллипс. Значит, эллипс возникает не из одной точки, а из всех возможных положений M с одинаковой суммой расстояний.

Построить такую линию можно с помощью нити. Её концы закрепляют в F₁ и F₂, а карандашом натягивают нить в сторону. При любом положении карандаша два участка нити имеют длины MF₁ и MF₂, а их сумма равна всей длине нити. Поэтому карандаш отмечает только точки, удовлетворяющие определяющему условию.

Эллипс симметричен относительно большой оси, потому что отражение относительно этой оси оставляет фокусы на месте и не меняет расстояния до них. Он симметричен и относительно малой оси: при таком отражении фокусы меняются местами, но сумма расстояний остаётся прежней. Пересечение осей является центром симметрии, так как поворот на 180° также сохраняет эту сумму.

Большую и малую оси находят по крайним точкам эллипса. Отрезок между самыми удалёнными вершинами — большая ось, а перпендикулярный ему отрезок через середину — малая ось. Их пересечение даёт центр, а концы осей являются вершинами эллипса.

Если фокусы сближаются и совпадают в одной точке O, условие принимает вид MF₁ + MF₂ = MO + MO = 2MO = L. Следовательно, расстояние MO постоянно для любой точки линии. Множество точек, равноудалённых от O, — это окружность, поэтому окружность является частным случаем эллипса.

Основные элементы и свойства эллипса

Таблицу удобно использовать как краткую проверку: сначала найдите фокусы и центр, затем определите оси. После этого проверьте симметрию и постоянство суммы расстояний.

Если на чертеже есть обозначения a, b и c, обычно a и b связаны с полуосями, а c — с расстоянием от центра до фокуса. Для школьного рассуждения достаточно помнить геометрическое условие MF₁ + MF₂ = L.

Разбор задач

Задача 1

Даны фокусы F₁ и F₂ и число 10. Нужно определить, принадлежит ли точка M эллипсу, если MF₁ = 4, а MF₂ = 6.

1. Для точек эллипса складываем расстояния до обоих фокусов.
2. Получаем MF₁ + MF₂ = 4 + 6 = 10.
3. Сравниваем результат с заданной постоянной суммой. Они равны, поэтому условие выполнено.

Ответ: точка M принадлежит эллипсу.

Задача 2

Нужно построить эллипс по двум фокусам и длине большой оси, равной 10. Требуется получить не формулу, а саму линию.

1. Обозначим фокусы F₁ и F₂ и закрепим в них концы нити длиной 10.
2. Натянем нить карандашом. Тогда два её участка имеют длины MF₁ и MF₂, а их сумма равна 10.
3. Перемещаем карандаш, не ослабляя нить, и отмечаем его путь. Полученные точки соединяем плавной замкнутой линией.
4. Проверяем крайние положения: они дают вершины большой оси, а её середина будет центром фигуры.

Ответ: эллипс строится движением карандаша при постоянно натянутой нити длиной 10.

Задача 3

По изображению эллипса нужно определить центр, фокусы, большую и малую оси и объяснить симметрию фигуры.

1. Проведите или найдите два взаимно перпендикулярных направления, проходящих через середины фигуры. Их пересечение обозначьте O — это центр.
2. Ось, соединяющая самые удалённые вершины, будет большой. Фокусы лежат на ней внутри эллипса и находятся на одинаковом расстоянии от O.
3. Перпендикулярный отрезок через O — малая ось; его концы являются ближайшими к центру вершинами.
4. Для проверки мысленно отразите фигуру относительно каждой оси. Одна половина должна совпасть с другой, а поворот вокруг O на 180° также должен оставить эллипс без изменений.

Ответ: центр — пересечение осей, большая ось длиннее и проходит через фокусы, малая ось перпендикулярна ей, а симметрия следует из равенства соответствующих расстояний.

Типичные ошибки

Любая овальная линия — эллипс. Так считают, потому что внешняя форма похожа. Но эллипс задаётся точным условием постоянной суммы расстояний; проверьте это условие для нескольких точек.

Фокусы — это вершины. Ошибка возникает из-за того, что и те и другие лежат на большой оси. Фокусы находятся внутри фигуры, а вершины — на её границе, поэтому сначала определите, о каких точках идёт речь.

Большую ось называют диаметром. Такое название привычно по окружности, но в геометрии эллипса используют термин «ось». Проверьте себя: большая ось соединяет две дальние вершины и проходит через оба фокуса.

Сумма расстояний меняется от точки к точке. При измерениях это может казаться правдой из-за неточности чертежа или линейки. Сложите два расстояния для нескольких точек: на настоящем эллипсе результат должен быть одним и тем же с учётом погрешности измерения.

Связь с другими темами

Для изучения эллипса нужны расстояние между точками, середина отрезка, перпендикулярность, а также осевая и центральная симметрия.

Дальше свойства эллипса пригодятся при изучении конических сечений, координатного метода и уравнений линий.

Эллиптические формы встречаются в астрономии, оптике, архитектуре и инженерных конструкциях, поэтому геометрическое определение имеет практическое значение.

Что запомнить

• Эллипс — множество точек с постоянной суммой расстояний до двух фокусов.
• Фокусы эллипса находятся внутри него на большой оси.
• Пересечение большой и малой осей является центром эллипса.
• Большая ось длиннее малой и проходит через фокусы.
• Эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии.
• Если фокусы совпадают, эллипс становится окружностью.