"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Парабола — это множество точек, одинаково удалённых от фиксированной точки, называемой фокусом, и фиксированной прямой — директрисы. По этому свойству можно построить параболу, найти её ось и вершину, проверить принадлежность точки. Парабола симметрична относительно оси, а график функции y = x² является её знакомым примером.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Парабола — множество точек, равноудалённых от заданной точки и заданной прямой, если эта точка не лежит на прямой. Иными словами, для любой точки параболы расстояние до точки и расстояние до прямой одинаковы. Это определение позволяет не только узнавать параболу, но и строить её.
Фокус параболы — заданная точка, расстояние от которой до каждой точки параболы равно расстоянию до директрисы. Обычно фокус обозначают буквой F. Он нужен как один из двух неподвижных объектов, задающих форму и положение параболы.
Директриса параболы — заданная прямая, используемая вместе с фокусом для определения параболы. Расстояние до директрисы понимают как длину перпендикуляра от точки до этой прямой. Поэтому директриса задаёт не отдельную точку, а целое направление отсчёта расстояния.
Ось параболы — прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе; она служит осью симметрии параболы. При отражении фигуры относительно этой прямой парабола совпадает сама с собой. На оси находится вершина — точка параболы, ближайшая к директрисе.
Чтобы построить точку параболы, сначала выбирают точку на плоскости и находят её расстояние до фокуса. Затем нужно подобрать положение относительно директрисы так, чтобы расстояние до неё было таким же. Удобнее всего провести прямую, параллельную директрисе, на найденном расстоянии: любая точка этой прямой находится от директрисы на нужном расстоянии, а пересечение с окружностью с центром в фокусе даст искомые точки.
Парабола симметрична относительно прямой через фокус, перпендикулярной директрисе. Действительно, при отражении относительно этой прямой фокус остаётся на месте, поэтому расстояние до него сохраняется. Директриса также переходит сама в себя, а расстояние до неё не меняется, значит, равенство двух расстояний сохраняется.
Вершина лежит на оси, потому что именно на оси можно найти точки, расположенные симметрично относительно фокуса и директрисы. На оси расстояние до фокуса сравнивается с расстоянием до директрисы напрямую, без бокового смещения. Ближайшая к директрисе точка, для которой эти расстояния равны, и есть вершина параболы.
Параболу по определению строят не одной линией, а набором точек. Проводят несколько прямых, параллельных директрисе, на разных расстояниях от неё и на каждой строят окружность с центром в фокусе и тем же радиусом. Пересечения окружности с соответствующей параллельной прямой принадлежат параболе, а плавная линия через них даёт её приближённый вид.
График y = x² получается из того же определения при фокусе (0; ¼) и директрисе y = −¼. Для точки (x; y) равенство расстояний записывается как √(x² + (y − ¼)²) = y + ¼. После возведения в квадрат получаем x² + y² − ½y + 1⁄16 = y² + ½y + 1⁄16, то есть y = x².
Таблица помогает разделить два вида объектов: фокус и директриса задаются заранее, а ось и вершина находятся по ним. При проверке точки сначала обращайтесь к последнему столбцу: он подсказывает, какие расстояния нужно сравнить.
| Элемент | Что задаёт или характеризует | Как связан с определением |
|---|---|---|
| Фокус | Фиксированная точка | От неё измеряют расстояние до точки параболы |
| Директриса | Фиксированная прямая | До неё измеряют расстояние от точки параболы |
| Ось | Направление симметрии | Проходит через фокус перпендикулярно директрисе |
| Вершина | Точка на оси, ближайшая к директрисе | Равноудалена от фокуса и директрисы |
Если нужно построить параболу, начинайте с фокуса и директрисы, затем проводите ось. Вершину находят на оси, а остальные точки — с помощью равенства расстояний.
Фокус параболы — точка F, директриса — прямая l. Нужно проверить, лежит ли точка A на параболе, если расстояние AF равно расстоянию от A до l. Условие уже сообщает главное равенство, но его нужно связать с определением.
Ответ: точка A лежит на параболе.
Даны фокус и директриса. Требуется построить точку параболы, находящуюся на расстоянии 2 см от директрисы. Нужно не выбирать точку случайно, а сначала создать множество точек с нужным расстоянием до прямой.
Ответ: любая точка пересечения окружности с m — искомая точка параболы. Если пересечений два, обе точки подходят.
Нужно построить параболу по заданным фокусу и директрисе, а также отметить её ось и вершину. Построение начинают с объектов, которые заданы условием, потому что они определяют все свойства фигуры.
Ответ: построенная линия является параболой, проведённая перпендикулярно директрисе прямая — её ось, а ближайшая к директрисе точка на оси — вершина.
Иногда считают, что точка подходит, если она равноудалена от фокуса и любой прямой. Это неверно: нужна именно заданная директриса, иначе получится другая фигура. Проверьте, какая прямая указана в условии.
Расстояние до директрисы путают с расстоянием до произвольной точки на ней. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, потому что именно этот отрезок самый короткий. Для проверки постройте перпендикуляр к директрисе.
Ось иногда проводят параллельно директрисе. Но ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе, поэтому сначала найдите прямой угол. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, ось построена неправильно.
Фокус или директрису могут назвать частью самой параболы. Они не являются точками её линии: это заранее заданные объекты, по которым линию определяют. Проверьте, выполняется ли для объекта равенство расстояний, а не просто участвует ли он в построении.
До изучения параболы нужно уметь находить расстояние от точки до прямой и строить перпендикуляр. Эти навыки необходимы для работы с директрисой.
Парабола связана с графиком квадратичной функции. Позже её свойства помогут понимать уравнения и преобразования графиков.
Отражательное свойство параболы используют в прожекторах, антеннах и параболических зеркалах: лучи, направленные вдоль оси, после отражения собираются вблизи фокуса.
Как проверить, принадлежит ли точка параболе?
Найдите расстояние от точки до фокуса и расстояние от неё до директрисы. Если эти расстояния равны, точка принадлежит параболе; если нет — не принадлежит.
Чем фокус отличается от вершины?
Фокус — заданная точка, по которой вместе с директрисой определяют параболу. Вершина — особая точка самой параболы: она лежит на оси и ближе всего к директрисе.
Как провести ось параболы?
Через фокус проведите прямую, перпендикулярную директрисе. Полученная прямая и есть ось параболы.
Почему парабола симметрична?
При отражении точки относительно оси расстояние до фокуса не меняется, потому что фокус лежит на оси. Расстояние до директрисы также сохраняется, поэтому отражённая точка снова принадлежит параболе.
Как построить параболу по фокусу и директрисе?
Проведите несколько прямых, параллельных директрисе, на разных расстояниях от неё. На каждой такой прямой отметьте точки, удалённые от фокуса на то же расстояние, что и сама прямая от директрисы.
§ 21*. Парабола
