§ 38. Парабола

Определения и обозначения

Парабола — множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки — фокуса — и заданной прямой — директрисы, не проходящей через фокус. Это определение позволяет описывать параболу не только как график, но и как геометрическую фигуру, заданную двумя объектами. Расстояние до прямой измеряется по перпендикуляру.

Фокус параболы — фиксированная точка, расстояние от которой до каждой точки параболы равно расстоянию до директрисы. Именно фокус участвует в геометрическом условии, по которому можно вывести уравнение кривой. Его положение помогает определить, в какую сторону направлены ветви.

Директриса параболы — фиксированная прямая, задающая вместе с фокусом параболу. Для любой точки параболы расстояния до фокуса и директрисы совпадают. Директриса нужна, чтобы однозначно задать геометрическое место точек, а не только указать форму линии.

Параметр параболы p — положительная величина, определяющая расстояние от фокуса до директрисы; его конкретное значение зависит от принятой записи уравнения. Например, в форме y² = 2px это расстояние равно p, а от вершины до фокуса — p/2. Поэтому перед вычислениями нужно выяснить, что обозначает параметр именно в выбранной формуле.

Как это устроено

Чтобы получить уравнение, удобно выбрать начало координат в середине перпендикуляра, соединяющего фокус с директрисой. Пусть фокус F(0; p/2), а директриса имеет уравнение y = −p/2; тогда координаты произвольной точки параболы обозначим (x; y). Расстояние до фокуса равно √(x² + (y − p/2)²), а до директрисы — |y + p/2|. Приравниваем эти выражения, возводим обе части в квадрат и сокращаем одинаковые слагаемые: получаем x² = 2py.

Ось симметрии проходит через фокус перпендикулярно директрисе, потому что отражение относительно этой прямой сохраняет расстояния до фокуса и до директрисы. Значит, вместе с каждой точкой параболы отражённая точка тоже удовлетворяет определению. Вершина находится на оси в середине между фокусом и директрисой: это ближайшая к директрисе точка оси, в которой расстояния до двух заданных объектов равны. При выборе начала координат в вершине такая парабола записывается как x² = 2py.

Направление ветвей определяется тем, с какой стороны от директрисы находится фокус. Парабола раскрывается в сторону фокуса: если он справа от вершины, ветви направлены вправо, если выше — вверх. Расстояние между фокусом и директрисой влияет на ширину кривой: при увеличении этого расстояния парабола становится более широкой. В уравнении x² = 2py это расстояние равно p, а фокус отстоит от вершины на p/2.

По каноническому уравнению сначала смотрят, какая координата возведена в квадрат. В y² = 2px квадрат стоит у y, поэтому ось симметрии горизонтальна и проходит по оси Ox; при p > 0 ветви раскрыты вправо. В x² = 2py квадрат стоит у x, ось вертикальна и совпадает с Oy; при p > 0 ветви направлены вверх. Если начало координат перенесено или оси расположены иначе, вершину и ось определяют с учётом новых координат, а не по одному лишь привычному рисунку.

Принадлежность точки можно проверить двумя способами. Если дано уравнение, подставляют координаты точки: верное равенство означает, что точка лежит на параболе. Если известны фокус и директриса, вычисляют расстояния до них и сравнивают; равенство расстояний подтверждает принадлежность по определению.

Основные элементы и уравнения параболы

Сначала определите, какая координата возведена в квадрат: это подскажет направление оси. Затем знак коэффициента при линейной координате покажет сторону раскрытия, а формулы в последнем столбце дадут фокус и директрису. В таблице p может быть положительным или отрицательным для описания направления, а расстояния выражаются через его модуль.

Разбор задач

Задача 1. Фокус параболы расположен в точке F(2; 0), а директриса задана уравнением x = −2. Запишите уравнение параболы.

1. Пусть M(x; y) — произвольная точка параболы. По определению расстояние MF должно равняться расстоянию от M до директрисы.
2. Запишем расстояния: MF = √((x − 2)² + y²), расстояние до прямой x = −2 равно |x + 2|.
3. Приравняем выражения и возведём обе части в квадрат: (x − 2)² + y² = (x + 2)².
4. Раскроем скобки и сократим: x² − 4x + 4 + y² = x² + 4x + 4, откуда y² = 8x.

Ответ: y² = 8x. Уравнение показывает, что ось горизонтальна, а ветви направлены вправо, к фокусу.

Задача 2. Определите вершину, ось симметрии, направление ветвей и фокус параболы y² = 8x.

1. Сравним уравнение с формой y² = 2px. Получаем 2p = 8, значит, p = 4.
2. Вершина находится в начале координат, а ось симметрии — Ox, потому что квадратом является координата y.
3. Положительное значение p означает, что ветви направлены вправо. Координаты фокуса в этой форме равны (p/2; 0), то есть (2; 0).
4. Для полной проверки можно найти директрису: x = −p/2, поэтому x = −2. Фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины.

Ответ: вершина (0; 0), ось симметрии Ox, ветви направлены вправо, фокус F(2; 0).

Задача 3. Найдите уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии Oy, проходящей через точку A(4; 2), и определите её фокус и директрису.

1. Вертикальная ось симметрии означает, что уравнение имеет вид x² = 2py. Подставим координаты A: 4² = 2p · 2.
2. Получаем 16 = 4p, следовательно, p = 4. Уравнение параболы: x² = 8y.
3. Для этой формы фокус равен (0; p/2), а директриса задаётся уравнением y = −p/2. При p = 4 это F(0; 2) и y = −2.
4. Проверим точку: при x = 4 и y = 2 обе части уравнения равны 16. Положительный p также подтверждает, что ветви направлены вверх.

Ответ: x² = 8y; фокус F(0; 2), директриса y = −2.

Типичные ошибки

Фокус и вершина — разные точки: вершина принадлежит параболе, а фокус обычно находится вне неё. Их путают, потому что оба лежат на оси симметрии и часто располагаются близко друг к другу. Проверка проста: подставьте координаты предполагаемой вершины в уравнение, а положение фокуса найдите по соответствующей формуле.

Директрису нельзя считать осью симметрии: она перпендикулярна оси и не проходит через фокус. Ошибка возникает, когда обе прямые воспринимают просто как линии, задающие параболу. Проверьте направление: уравнение директрисы должно задавать прямую, перпендикулярную оси, а расстояния от фокуса и вершины до неё должны согласовываться с выбранной формой.

Направление ветвей определяют не по внешнему виду коэффициента вообще, а по конкретной форме уравнения. Например, y² = 2px раскрывается вправо при p > 0, а x² = 2py — вверх; отрицательное значение меняет направление на противоположное. Чтобы проверить себя, найдите фокус: ветви идут в его сторону.

Параметр p не всегда равен расстоянию от вершины до фокуса. В записи y² = 2px расстояние между фокусом и директрисой равно p, а от вершины до фокуса — p/2; в других соглашениях множители могут быть иными. Ошибка появляется, если запомнить формулу, не уточнив определение параметра. Проверьте координаты фокуса, выводя их из принятого уравнения.

Связь с другими темами

Для работы с параболой нужны формулы расстояния между точками и расстояния от точки до прямой в координатах. Именно их используют, чтобы перевести равенство расстояний из определения в уравнение. Полезно также уметь преобразовывать выражения и возводить равенства в квадрат.

Парабола — пример геометрического места точек, заданного условием на расстояния. Такой координатный метод применяют и для других кривых второго порядка, например эллипса и гиперболы. Сравнение их определений помогает увидеть, как изменение геометрического условия меняет форму уравнения.

График квадратичной функции является параболой, поэтому её свойства помогают изучать вершину и поведение графика. Парабола также используется при изучении касательных и оптического свойства отражателя: лучи, направленные параллельно оси, после отражения собираются около фокуса. Это объясняет применение параболической формы в оптике.

Что запомнить

• Каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы.
• Фокус, вершина и ось симметрии лежат на одной прямой.
• Ось симметрии перпендикулярна директрисе.
• Вершина находится посередине между фокусом и директрисой.
• Уравнение y² = 2px задаёт параболу с горизонтальной осью, а x² = 2py — с вертикальной осью.
• Направление ветвей определяется положением фокуса относительно вершины.
• При работе с параметром нужно сверяться с принятой формой уравнения.

График y = x²/2 — пример параболы с вертикальной осью симметрии и ветвями, направленными вверх. Её вершина находится в начале координат.