99. Парабола

Определения и обозначения

Парабола — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой. Иными словами, для любой точки M параболы расстояние MF до фиксированной точки равно расстоянию от M до фиксированной прямой d. Это определение позволяет строить параболу не наугад, а проверять принадлежность точки с помощью равенства расстояний.

Фокус параболы — фиксированная точка, от которой каждая точка параболы равноудалена. Фокус обозначают буквой F. Он задаёт направление и форму параболы вместе с директрисой.

Директриса параболы — фиксированная прямая, от которой точки параболы находятся на таком же расстоянии, как и от фокуса. Её обычно обозначают d. Сравнение расстояний до F и d превращает геометрическое определение в уравнение.

Ось и вершина параболы: ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Вершина лежит на оси и является ближайшей к директрисе точкой параболы. Она служит начальной точкой для описания положения и симметрии всей кривой.

Как это устроено

Чтобы получить простое уравнение, начало координат помещают в вершину, а ось Ox направляют вдоль оси параболы в сторону от директрисы. Тогда директриса становится вертикальной прямой, а фокус лежит на Ox. При стандартном обозначении их координаты имеют вид F(p/2; 0) и d: x = −p/2.

Пусть M(x; y) — произвольная точка параболы. Её расстояние до фокуса равно √((x − p/2)² + y²), а до директрисы x = −p/2 — x + p/2 для точек параболы. По определению эти расстояния равны, поэтому √((x − p/2)² + y²) = x + p/2.

Возведём обе части равенства в квадрат: (x − p/2)² + y² = (x + p/2)². После раскрытия скобок одинаковые слагаемые x² и p²/4 сокращаются, остаётся y² = 2px. Так появляется каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат.

Параметр p равен расстоянию между фокусом и директрисой: от x = −p/2 до точки с координатой p/2 оно составляет p. Поэтому расстояние от вершины до фокуса равно p/2, а расстояние от вершины до директрисы тоже равно p/2. Значение p одновременно определяет положение фокуса, директрисы и размер параболы.

В уравнении y² = 2px знак p задаёт сторону раскрытия. При p > 0 точка фокуса находится справа от вершины, и ветви направлены вправо; при p < 0 они направлены влево. Осью остаётся Ox, потому что замена y на −y не меняет уравнение.

Основные элементы параболы y² = 2px

Таблицу удобно использовать после приведения уравнения к виду y² = 2px. Сначала находят p, сравнив коэффициенты, затем сразу определяют фокус и директрису.

Если вершина не находится в начале координат, формулы изменяются с учётом координат переноса. В данном параграфе рассматривается стандартное положение параболы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: получить уравнение параболы, если фокус и директриса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Расстояние между ними обозначим p. Вершина тогда находится в начале координат.

1. Запишем фокус как F(p/2; 0), а директрису как x = −p/2.
2. Для точки M(x; y) составим расстояния: MF = √((x − p/2)² + y²), а расстояние до директрисы равно x + p/2.
3. Приравниваем их и возводим в квадрат: (x − p/2)² + y² = (x + p/2)². После сокращения получаем y² = 2px.

Ответ: каноническое уравнение параболы имеет вид y² = 2px. Выбор координат сделал вывод коротким, потому что вершина оказалась в начале координат, а ось — на оси Ox.

Задача 2

Условие: для параболы y² = 8x найти вершину, ось, фокус и директрису. Нужно сопоставить данное уравнение с канонической формой.

1. Из 2p = 8 находим p = 4.
2. Вершина O(0; 0), ось симметрии — Ox.
3. Фокус F(p/2; 0) = F(2; 0), директриса x = −p/2, то есть x = −2. Поскольку p положительно, ветви направлены вправо.

Ответ: O(0; 0), Ox, F(2; 0), x = −2. Все элементы получены из одного параметра p = 4.

Задача 3

Условие: составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если F(3; 0), и проверить точку A(2; 4). Координата фокуса сразу позволяет найти параметр.

1. Из p/2 = 3 получаем p = 6.
2. Подставляем параметр в y² = 2px: y² = 12x.
3. Для A(2; 4): левая часть равна 4² = 16, правая — 12 · 2 = 24. Равенство не выполняется.

Ответ: уравнение параболы y² = 12x. Точка A(2; 4) ей не принадлежит.

Типичные ошибки

Путать p с расстоянием от вершины до фокуса. Так происходит, потому что параметр часто воспринимают как расстояние до ближайшего важного объекта. Проверка: расстояние от вершины до фокуса равно p/2, а между фокусом и директрисой — p.

Записывать фокус как (p; 0). Ошибка возникает из-за невнимательного чтения коэффициента 2p в уравнении. Подставьте координату в формулу: правильный фокус — F(p/2; 0).

Неверно ставить знак у директрисы. Если фокус находится справа, директриса должна быть слева от вершины, поэтому при F(p/2; 0) её уравнение x = −p/2. Проверить знак можно по симметрии расстояний от вершины до фокуса и до директрисы.

Считать осью параболы Oy. В уравнении y² = 2px квадрат стоит у y, поэтому при фиксированном x получаются симметричные значения y и −y, а ось — Ox. Направление ветвей при p > 0 дополнительно подтверждает раскрытие вправо.

Связь с другими темами

Для изучения параболы нужны расстояния между точками и от точки до прямой, координаты и преобразование алгебраических выражений. Эти навыки позволяют перейти от определения через геометрическое место точек к уравнению.

Парабола показывает, как один объект можно описать и геометрически, и аналитически. Её свойства пригодятся при изучении конических сечений, графиков квадратичных функций и метода координат.

Что запомнить

• Парабола состоит из точек, равноудалённых от фокуса и директрисы.
• Ось параболы проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
• Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат: y² = 2px.
• Для этого уравнения фокус имеет координаты (p/2; 0), а директриса задана уравнением x = −p/2.
• Ось симметрии параболы y² = 2px — ось Ox.
• При p > 0 ветви параболы направлены вправо.