98. Гипербола

Определения и обозначения

Гипербола — множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных точек постоянен и равен 2a. Эти две заданные точки называют фокусами, а число 2a выбирают меньше расстояния между фокусами. Модуль нужен потому, что расстояния можно вычитать в любом порядке: значение выражения в скобках может быть положительным или отрицательным. Такое определение помогает отличить гиперболу от других линий, заданных условием о расстояниях.

Фокусы гиперболы — две заданные точки, от расстояний до которых зависит определение гиперболы; расстояние от центра до фокуса обозначают c. Центр расположен посередине между фокусами, поэтому для гиперболы с горизонтальной осью фокусы записывают как (−c; 0) и (c; 0). Буква c обозначает именно расстояние до фокуса, а не до вершины. Это различие понадобится, когда по уравнению нужно определить положение фокусов.

Каноническое уравнение гиперболы — уравнение x²/a² − y²/b² = 1, где a и b — положительные числа. Оно описывает гиперболу с центром в начале координат и ветвями, направленными вдоль оси x. Параметр a задаёт расстояние от центра до вершины, а b влияет на форму ветвей. По этому уравнению удобно сразу находить основные элементы гиперболы.

Асимптоты гиперболы — прямые, к которым ветви неограниченно приближаются. Для уравнения x²/a² − y²/b² = 1 их уравнения: y = ±(b/a)x. Асимптоты не являются частями гиперболы, но показывают направление её ветвей далеко от центра. Их используют, чтобы набросать график и проверить, насколько широко расходятся ветви.

Как это устроено

Сначала фиксируют два фокуса и выбирают число 2a, меньшее расстояния между ними. Затем рассматривают все точки, у которых модуль разности расстояний до фокусов равен этому числу. Если точка приближается к одному фокусу, её расстояние до другого должно соответственно изменяться, чтобы разность сохранялась. Поэтому получаются две отдельные ветви, расположенные по разные стороны от центра.

Центр гиперболы находится ровно посередине между фокусами, поскольку фокусы задают её симметрию. Вершины лежат на прямой, проходящей через фокусы: именно на этой оси ветви ближе всего подходят к центру. Расстояние от центра до каждой вершины равно a, поэтому для горизонтальной гиперболы вершины имеют координаты (−a; 0) и (a; 0). Так определение через фокусы связывается с координатным описанием.

В каноническом уравнении x²/a² − y²/b² = 1 положительный член связан с x. Если подставить y = 0, получится x²/a² = 1, то есть x = ±a: это точки-вершины. При этом x²/a² должно быть не меньше единицы, иначе левая часть уравнения не сможет равняться 1 после вычитания неотрицательного y²/b². Значит, x ≤ −a или x ≥ a, и ветви расположены по обе стороны от начала координат вдоль оси x.

Расстояние c до фокуса связано с параметрами уравнения равенством c² = a² + b². Эта связь возникает при сопоставлении определения гиперболы с её координатным уравнением; в отличие от эллипса, здесь к квадрату a прибавляется квадрат b. Поскольку a и b положительны, c больше каждого из них. Найдя c, можно записать координаты фокусов как (−c; 0) и (c; 0).

Асимптоты возникают из поведения уравнения при больших значениях координат: вдали от центра ветви становятся всё ближе к прямым y = (b/a)x и y = −(b/a)x. Коэффициенты этих прямых определяют наклон, а знак показывает, в какую сторону направлена каждая из них. Чем больше b по сравнению с a, тем круче асимптоты. Они служат ориентирами при построении гиперболы, хотя сама ветвь не пересекает их и лишь приближается к ним.

Основные свойства гиперболы x²/a² − y²/b² = 1

Пользуйся таблицей после того, как уравнение приведено к каноническому виду и найдены параметры a и b. Если требуется положение фокусов, сначала вычисли c по формуле из таблицы. Проверь также, что уравнение действительно имеет горизонтальную ось: положительный член должен стоять при x².

Разбор задач

Задача 1. Для уравнения x²/25 − y²/9 = 1 найти центр, вершины и фокусы гиперболы. Коэффициенты сравниваем с каноническим уравнением: здесь a² = 25 и b² = 9. Знак «плюс» стоит при x², поэтому вершины и фокусы лежат на оси x. Решение по шагам:

1. Центр канонической гиперболы находится в начале координат: (0; 0).
2. Находим a = 5, поэтому вершины имеют координаты (−5; 0) и (5; 0).
3. Вычисляем c² = 25 + 9 = 34, значит, c = √34.
4. Записываем фокусы: (−√34; 0) и (√34; 0).

Ответ: центр (0; 0), вершины (−5; 0) и (5; 0), фокусы (−√34; 0) и (√34; 0). Заметь: фокусы находятся дальше от центра, чем вершины, потому что √34 больше 5.

Задача 2. Составить уравнение гиперболы с центром в начале координат, вершинами (±3; 0) и фокусами (±5; 0). И вершины, и фокусы расположены на оси x, значит, подходит уравнение x²/a² − y²/b² = 1. По вершинам можно сразу определить a, а расстояние до фокуса даёт c. Решение по шагам:

1. Из координат вершин получаем a = 3, следовательно, a² = 9.
2. Из координат фокусов получаем c = 5, следовательно, c² = 25.
3. Используем c² = a² + b²: b² = 25 − 9 = 16.
4. Подставляем a² = 9 и b² = 16 в каноническое уравнение.

Ответ: x²/9 − y²/16 = 1. Проверка показывает, что c² = 9 + 16 = 25, как и требуется по условию.

Задача 3. Точка M принадлежит гиперболе с фокусами F₁ и F₂, причём MF₁ = 10 и MF₂ = 4. Расстояние между фокусами равно 12; нужно определить a и проверить, может ли M принадлежать этой гиперболе. По определению значение модуля разности расстояний до фокусов равно 2a. Но одной формулы недостаточно: нужно проверить, что такой параметр возможен при заданном расстоянии между фокусами.

1. Вычисляем модуль разности расстояний: |10 − 4| = 6.
2. Приравниваем его к 2a: 2a = 6, откуда a = 3.
3. Для гиперболы должно выполняться 2a < F₁F₂. Здесь 2a = 6, а F₁F₂ = 12, значит, условие выполнено.

Ответ: a = 3; точка может принадлежать такой гиперболе. Проверка необходима, потому что если бы модуль разности оказался не меньше расстояния между фокусами, заданное условие определения не выполнялось бы.

Типичные ошибки

Гиперболу иногда путают с эллипсом и вместо разности расстояний используют их сумму. Так происходит потому, что оба определения опираются на два фокуса. Чтобы проверить себя, вспомни: у эллипса постоянна сумма, а у гиперболы — модуль разности расстояний.

В формуле связи параметров могут записать c² = a² − b². Такая формула относится не к гиперболе, а к эллипсу, и возникает из-за сходства обозначений. Для уравнения x²/a² − y²/b² = 1 проверь вычисление по равенству c² = a² + b²; кроме того, квадрат расстояния c должен быть больше a².

Ещё одна ошибка — принять расстояние от центра до фокуса за a. Параметр a задаёт расстояние до вершины, тогда как до фокуса расстояние равно c. Чтобы не перепутать обозначения, сначала выпиши отдельно координаты вершин (±a; 0) и фокусов (±c; 0), а затем используй связь c² = a² + b².

При изменении знаков в уравнении можно не заметить, что вместе с ним меняется направление ветвей. Обычно ошибку допускают, ориентируясь только на наличие квадратов переменных. Проверь, при какой переменной стоит положительный член: если это x², вершины лежат на оси x; если y², гипербола направлена вдоль оси y.

Связь с другими темами

Для работы с гиперболой нужны координаты точек и формула расстояния между двумя точками. Уравнение окружности тоже связывает координаты с расстоянием до заданной точки, поэтому помогает привыкнуть к такому способу описания геометрических фигур. Гипербола относится к коническим сечениям — линиям, которые получают при пересечении конуса плоскостью. Позже эти знания пригодятся в аналитической геометрии и при изучении графиков дробно-рациональных функций.

Что запомнить

• Гипербола определяется постоянством модуля разности расстояний до фокусов.
• Для уравнения x²/a² − y²/b² = 1 центр находится в начале координат.
• Вершины имеют координаты (±a; 0), фокусы — (±c; 0).
• Параметры связаны равенством c² = a² + b².
• Асимптоты имеют уравнения y = ±(b/a)x.
• Для гиперболы с вертикальной осью каноническое уравнение записывают как y²/a² − x²/b² = 1.