§ 40. Гипербола

Определения и обозначения

Гипербола — множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек постоянен и меньше расстояния между этими точками. Фиксированные точки называют фокусами, а постоянную разность расстояний обозначают 2a. Это определение позволяет описывать кривую через расстояния и служит основой для вывода её уравнения.

Фокусы гиперболы — две точки, относительно которых задаётся кривая. В каноническом положении центр гиперболы находится посередине между фокусами, а расстояние от центра до каждого фокуса обозначают c. Зная расположение фокусов, можно определить, вдоль какой координатной оси направлена действительная ось.

Эксцентриситет гиперболы — отношение расстояния от центра до фокуса к действительной полуоси: e = c/a. Для гиперболы e > 1, поскольку фокус расположен дальше от центра, чем вершина. Эксцентриситет помогает сравнивать форму кривых, не зависящую от их общего масштаба.

Асимптоты гиперболы — прямые, к которым её ветви неограниченно приближаются. Ветви не пересекают эти прямые на бесконечности, но расстояние между ними становится всё меньше. Асимптоты удобны для построения графика и показывают общее направление его ветвей.

Как это устроено

Чтобы получить каноническое уравнение, расположим фокусы на оси Ox в точках (−c; 0) и (c; 0). По определению разность расстояний от точки (x; y) до фокусов по модулю равна постоянной величине 2a. Для правой ветви можно записать √((x + c)² + y²) − √((x − c)² + y²) = 2a. Последовательное возведение в квадрат и упрощение приводит к x²/a² − y²/(c² − a²) = 1; обозначив c² − a² через b², получаем x²/a² − y²/b² = 1. Число a возникает из постоянной разности: разность расстояний между двумя вершинами равна 2a.

В уравнении x²/a² − y²/b² = 1 положительный член связан с x². Если подставить y = 0, получим x²/a² = 1, то есть вершины при x = ±a; если подставить x = 0, равенство невозможно. Значит, кривая пересекает ось Ox и имеет две ветви, направленные влево и вправо. В уравнении y²/a² − x²/b² = 1 положительным становится член с y², поэтому вершины лежат на Oy, а ветви направлены вверх и вниз.

Вершины находятся там, где переменная с положительным квадратом равна ±a, а другая координата равна нулю. Координаты фокусов имеют ту же осевую форму, но вместо a в них стоит c. Связь c² = a² + b² следует из выведенного уравнения: при гиперболе величина c² − a² равна b². Поэтому c больше a, а расстояние от центра до фокуса больше расстояния до вершины.

Для горизонтальной гиперболы при больших по модулю x величина 1 в уравнении можно считать малой по сравнению с x²/a² и y²/b². Если отбросить её, получится x²/a² − y²/b² = 0, откуда y = ±(b/a)x. Эти прямые и задают направления, к которым приближаются ветви. Для вертикальной гиперболы аналогичное упрощение даёт y = ±(a/b)x.

Параметр a задаёт расстояние от центра до вершин, а b влияет на наклон асимптот: для горизонтальной гиперболы он равен b/a. Увеличение b при неизменном a делает асимптоты круче, а ветви — шире расходящимися. Параметр c определяет удалённость фокусов и связан с a и b равенством c² = a² + b². Знак положительного квадрата задаёт положение действительной оси относительно координатных осей.

Основные свойства гиперболы в каноническом положении

Сначала найдите в уравнении положительный квадрат: он показывает направление действительной оси и ветвей. Затем прочитайте a² и b² из знаменателей и вычислите c по общей для двух форм связи. Таблица помогает не перепутать координаты фокусов и коэффициенты наклона асимптот.

Разбор задач

Задача 1

Для уравнения x²/25 − y²/9 = 1 определите вид гиперболы, координаты вершин и фокусов, а также уравнения асимптот. Положительный член содержит x², значит ветви должны быть направлены вдоль Ox. Знаменатели дают a² = 25 и b² = 9, поэтому a = 5, b = 3.

1. Сравним уравнение с горизонтальной канонической формой: x²/a² − y²/b² = 1.
2. Найдём c: c² = a² + b² = 25 + 9 = 34, поэтому c = √34.
3. Вершины имеют координаты (±a; 0), то есть (−5; 0) и (5; 0); фокусы — (−√34; 0) и (√34; 0).
4. Для горизонтальной гиперболы асимптоты равны y = ±(b/a)x, значит y = ±(3/5)x.

Ответ: горизонтальная гипербола; вершины (−5; 0), (5; 0); фокусы (−√34; 0), (√34; 0); асимптоты y = 3x/5 и y = −3x/5. Положительный член уравнения определил направление ветвей, а связь параметров позволила найти фокусы. Проверка: расстояние от центра до фокуса √34 больше 5.

Задача 2

Составьте уравнение гиперболы с центром в начале координат, действительной полуосью 4 вдоль Oy и фокусом на расстоянии 5 от центра. Поскольку действительная ось вертикальная, положительный член должен содержать y². Здесь a = 4, а c = 5, поэтому неизвестный параметр b найдём из связи между ними.

1. Выбираем форму y²/a² − x²/b² = 1, так как ветви направлены вдоль Oy.
2. Подставляем известные значения в c² = a² + b²: 25 = 16 + b².
3. Получаем b² = 9, следовательно, b = 3.
4. Подставляем параметры в выбранную форму: y²/16 − x²/9 = 1.

Ответ: y²/16 − x²/9 = 1. Фокусы этой гиперболы находятся в точках (0; −5) и (0; 5), что согласуется с условием. Ветви направлены вверх и вниз, поскольку положительный квадрат — y².

Задача 3

Точка M(5; 3) принадлежит гиперболе x²/a² − y²/b² = 1, где a = 4. Найдите b, координаты фокусов и эксцентриситет. Уравнение уже задаёт горизонтальную гиперболу, поэтому после нахождения b фокусы будут лежать на Ox. Подставим координаты точки и известное значение a в уравнение.

1. Получаем 25/16 − 9/b² = 1.
2. Переносим слагаемые: 9/b² = 25/16 − 1 = 9/16, откуда b² = 16 и b = 4.
3. Находим c: c² = a² + b² = 16 + 16 = 32, поэтому c = 4√2.
4. Фокусы равны (−4√2; 0) и (4√2; 0), а эксцентриситет e = c/a = 4√2/4 = √2.

Ответ: b = 4; фокусы (−4√2; 0) и (4√2; 0); e = √2. Для проверки подставим найденный b в уравнение: 25/16 − 9/16 = 1, значит точка действительно ему удовлетворяет. Полученное значение эксцентриситета больше 1, как и должно быть для гиперболы.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать равенство c² = a² − b², которое относится к эллипсу. Её допускают, потому что оба объекта задаются фокусами и похожими каноническими уравнениями. Для гиперболы проверьте знак: c² = a² + b², поэтому c должно быть больше a.

Ошибка: выбирать направление ветвей по тому, какая переменная записана первой. Порядок слагаемых не определяет форму, а решающим является знак перед квадратом: положительный член указывает действительную ось. Для проверки сравните уравнение с каноническими формами и посмотрите, при какой переменной можно получить вершины.

Ошибка: записать для горизонтальной гиперболы асимптоты y = ±(a/b)x. Так происходит из-за перестановки параметров в формуле наклона. Проверьте результат, отбросив единицу в каноническом уравнении: из x²/a² − y²/b² = 0 следует y = ±(b/a)x.

Ошибка: путать a и c и считать, что фокусы лежат на расстоянии a от центра. Величина a задаёт положение вершин, а c — фокусов; фокусы дальше, поскольку c² = a² + b². Проверьте координаты: у горизонтальной гиперболы вершины (±a; 0), фокусы (±c; 0), причём c > a.

Связь с другими темами

Для работы с гиперболой нужны преобразования квадратных выражений и умение находить расстояние между точками по координатам. Полезно понимать, что такое геометрическое место точек, а также знать уравнения окружности и эллипса: сравнение помогает увидеть отличие условия для гиперболы. Гипербола входит в тему конических сечений и встречается в графиках рациональных функций. Её определение также используют в задачах, где требуется найти множество точек с заданным соотношением расстояний.

Что запомнить

• Гипербола задаётся постоянством модуля разности расстояний до двух фокусов.
• Для горизонтальной гиперболы каноническое уравнение имеет вид x²/a² − y²/b² = 1.
• Для вертикальной гиперболы каноническое уравнение имеет вид y²/a² − x²/b² = 1.
• Вершины лежат на действительной оси на расстоянии a от центра.
• Для гиперболы c² = a² + b² и e = c/a > 1.
• Асимптоты горизонтальной гиперболы задаются уравнениями y = ±(b/a)x.