§ 41. Построение циркулем и линейкой

Определения и обозначения

Построение циркулем и линейкой — конечная последовательность допустимых действий, приводящая к искомой геометрической фигуре. Иначе говоря, фигуру получают не приблизительным рисунком, а шаг за шагом по установленным правилам. Это определение помогает отличить построение от простого изображения: каждый элемент чертежа должен иметь объяснимое происхождение.

Циркуль — инструмент, которым проводят окружность с заданным центром и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками. Его раскрытие задаёт длину, а игла фиксирует центр окружности. Так можно переносить уже известный отрезок, даже если у него нет числового значения.

Линейка без делений — инструмент, которым проводят прямую через две заданные точки. Она не предназначена для измерения длины или откладывания отрезка по шкале. Ограничение оставляет только одно действие и позволяет точно задать прямую, проходящую через известные точки.

Допустимое построение — действие, выполняемое циркулем или линейкой без делений с использованием уже построенных точек и линий. Например, можно провести прямую через две известные точки или окружность с известным центром и радиусом. Это понятие нужно, чтобы проверить, что каждый шаг решения выполнен разрешённым способом.

Как это устроено

Построение начинают с заданных точек, прямых и окружностей, потому что инструментам нужны исходные данные: например, две точки для прямой или центр и радиус для окружности. Далее каждый новый объект получают только из того, что уже известно. Благодаря такому порядку решение можно повторить и проверить, а не угадывать по внешнему виду рисунка.

Линейкой проводят прямую через две известные точки, а циркулем — окружность с известным центром и радиусом, заданным отрезком. У линейки нет делений, поэтому прямую задаёт именно пара точек, а не её измеренная длина. Раствор циркуля сохраняет расстояние между точками, позволяя задать нужный радиус без числовой шкалы.

Новые точки получают как пересечения уже проведённых прямых и окружностей. Это ограничение важно: отдельную точку нельзя просто отметить «на глаз», ведь тогда её положение не следует из исходных данных. Если пересечений несколько, в описании нужно уточнить, какое используют, например верхнее относительно основания или то, которое образует нужную фигуру.

Более сложное построение складывается из простых действий, потому что каждая новая линия становится исходной для следующих шагов. Например, для серединного перпендикуляра проводят две окружности одинакового радиуса с центрами в концах отрезка. Их точки пересечения равноудалены от концов отрезка; прямая через эти точки и есть серединный перпендикуляр.

Решение задачи на построение должно содержать последовательность действий и обоснование результата. Одна последовательность показывает, как получить фигуру, но сама по себе не объясняет, почему она удовлетворяет условию. Обоснование связывает свойства построенных прямых, окружностей и их пересечений с требуемыми свойствами фигуры, поэтому позволяет проверить решение.

Допустимые действия и их результат

Пользуйся таблицей как проверкой каждого шага: сначала найди заданные объекты, затем определи, какое действие разрешено применить. Если нужной точки пока нет, выясни, пересечением каких уже построенных линий она может быть. Учитывай, что пересечения могут отсутствовать или давать несколько точек.

Разбор задач

Построить отрезок, равный данному, с одним концом в заданной точке

Пусть дан отрезок AB и точка O, которая должна стать одним из концов нового отрезка. Нужно перенести расстояние AB на луч с началом O: луч задаёт направление, а циркуль сохраняет длину. Если направление не задано, сначала можно провести из O произвольный луч.

1. Проведи луч с началом O.
2. Раскрой циркуль на длину AB, поставив его ножки в точки A и B.
3. Не меняя раствора, поставь иглу в O и проведи окружность.
4. Обозначь через C точку пересечения окружности с выбранным лучом.

Ответ: отрезок OC равен AB, потому что C лежит на окружности с центром O и радиусом AB. Если луч пересекает окружность в нужном направлении, точка C однозначно задаёт второй конец искомого отрезка.

Построить середину данного отрезка

Пусть дан отрезок AB. Искомая середина должна быть равноудалена от A и B, поэтому её удобно получить как точку пересечения окружностей с одинаковыми радиусами и центрами в концах отрезка. Радиус берут больше половины AB, иначе окружности не пересекутся в двух точках.

1. Выбери радиус, больший половины AB, и проведи окружность с центром A.
2. С тем же раствором циркуля проведи окружность с центром B.
3. Обозначь их точки пересечения C и D.
4. Проведи прямую CD и обозначь её пересечение с AB через M.

Ответ: M — середина AB. Точки C и D равноудалены от A и B, поэтому прямая CD является серединным перпендикуляром AB; она пересекает отрезок в его середине.

Построить треугольник по трём заданным сторонам, если такой треугольник существует

Пусть заданы длины a, b и c. Одну сторону удобно сразу принять за основание, а положение третьей вершины определить двумя расстояниями до концов основания. Пересечение окружностей и задаст вершину, если длины действительно позволяют построить треугольник.

1. Построй отрезок AB длины a.
2. Проведи окружность с центром A и радиусом b.
3. Проведи окружность с центром B и радиусом c.
4. Обозначь точку пересечения окружностей через C и соедини C с A и B.

Ответ: ABC — искомый треугольник, поскольку AB = a, AC = b и BC = c. Если окружности пересекаются в двух точках, получаются два расположенных по разные стороны от основания варианта. Условие существования треугольника — сумма любых двух заданных сторон больше третьей.

Типичные ошибки

Используют линейку как измерительный инструмент и откладывают отрезок по её шкале. Так делают, потому что в обычной работе линейка часто совмещает измерение и проведение прямых, но в задаче на построение разрешена только линейка без делений. Проверь себя: если длина получена по отметкам шкалы, замени этот шаг переносом циркулем.

Считают, что циркулем можно провести только окружность с заранее известным числовым радиусом. На деле радиус задают расстоянием между точками, то есть уже построенным отрезком; числовое значение не требуется. Проверь себя: можешь ли ты показать две точки, между которыми циркуль сохраняет нужное раскрытие?

Не указывают, какие именно пересечения дают нужную точку. Это происходит, когда на рисунке одна из нескольких точек кажется очевидной, хотя правила могут давать два результата. Проверь себя: назови линии, которые пересекаются, и уточни выбор точки относительно других элементов чертежа.

Записывают только чертёж, не приводя последовательность действий и обоснование. Внешне аккуратный рисунок может быть неточным и не доказывает, что фигура получена допустимым способом. Проверь себя: сможет ли другой человек восстановить построение по описанию и понять, почему результат отвечает условию?

Связь с другими темами

Для построений нужны свойства прямых, окружностей, отрезков и углов: по ним определяют, где расположены точки и что означает равенство расстояний. Признаки равенства треугольников помогают обосновывать результат, когда требуется доказать совпадение построенной фигуры с заданной. Без этих знаний построение можно выполнить, но трудно подтвердить его правильность.

Построения применяют в задачах о треугольниках и четырёхугольниках, чтобы получать элементы фигуры по заданным данным. Они также нужны при изучении правильных многоугольников, вершины которых связаны с делением окружности. Поэтому освоенные действия становятся основой для решения более сложных геометрических задач.

Что запомнить

• Линейкой без делений проводят прямую через две заданные точки.
• Циркулем проводят окружность с заданным центром и радиусом.
• Новую точку получают как пересечение построенных линий.
• Каждое действие в построении должно быть допустимым.
• Сложное построение составляют из простых шагов.
• Построение сопровождают обоснованием результата.