"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Гипербола — кривая, которую задают две фиксированные точки и постоянная разность расстояний до них. Эти точки называются фокусами, а кривая состоит из двух ветвей. Чтобы понять, принадлежит ли точка гиперболе, достаточно сравнить её расстояния до фокусов. Знание определения помогает строить точки кривой и находить её симметричные части; позднее гипербола встретится при изучении конических сечений и графиков зависимостей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гипербола — множество точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек постоянен и меньше расстояния между ними. Фиксированные точки называют фокусами, а постоянную разность можно обозначить d. Это определение позволяет проверить принадлежность точки кривой, не полагаясь на её внешний вид.
Фокус гиперболы — одна из двух фиксированных точек, расстояния до которых участвуют в определении. Обычно фокусы обозначают F₁ и F₂, а рассматриваемую точку — P. Именно положение фокусов и выбранное значение постоянной разности задают гиперболу.
Фокальная ось — прямая, на которой лежат оба фокуса гиперболы. Она задаёт направление расположения фокусов и служит осью симметрии кривой. Зная эту прямую, удобнее строить гиперболу и находить точки, симметричные данной.
Ветвь гиперболы — одна из двух отдельных частей кривой. На точках одной ветви расстояние до одного фокуса больше, чем до другого, а на другой ветви — наоборот. Понятие ветви помогает понять, почему одного условия с модулем достаточно для описания обеих частей.
Представим две неподвижные точки F₁ и F₂. Для любой точки P можно измерить расстояния PF₁ и PF₂, а затем найти модуль их разности. Если он равен одному и тому же числу d, то все подходящие точки образуют гиперболу. Каждая новая точка может находиться в другом месте, но должна сохранять это расстояние-разность; именно так условие задаёт целую кривую, а не одну точку.
Число d должно быть меньше расстояния между фокусами. Действительно, для любой точки P сумма расстояний PF₁ и PF₂ не меньше F₁F₂ — это следует из свойства треугольника. Поэтому разность этих расстояний не может быть больше расстояния между фокусами, а равенство возможно только на прямой за одним из фокусов и не даёт обычной кривой с конечными точками. При d, равном нулю, получается серединный перпендикуляр, а не две ветви гиперболы; для гиперболы берут 0 < d < F₁F₂.
Модуль разности допускает два случая: PF₁ − PF₂ = d или PF₂ − PF₁ = d. В первом точка дальше от F₁, а во втором — дальше от F₂; поэтому точки располагаются по разные стороны от середины отрезка между фокусами и образуют две ветви. Если убрать модуль и оставить только один порядок вычитания, останется лишь одна ветвь. Знак разности показывает, к какому фокусу точка ближе.
Если отразить точку P относительно фокальной оси, расстояния до F₁ и F₂ не изменятся: оба фокуса лежат на этой оси. Если отразить P относительно серединного перпендикуляра к F₁F₂, расстояния до фокусов поменяются местами, но модуль их разности останется прежним. Поэтому обе прямые являются осями симметрии гиперболы. Для построения выберите расстояние r₁ до F₁, а расстояние до F₂ возьмите равным r₁ + d или r₁ − d, если оно положительно. Проведите окружности с центрами F₁ и F₂ и радиусами r₁ и r₂: их точки пересечения подходят, если окружности действительно пересекаются. Проверка |r₁ − r₂| = d подтверждает условие, а неравенство r₁ + r₂ > F₁F₂ обеспечивает пересечение окружностей в двух точках.
| Что рассматриваем | Описание |
|---|---|
| Определяющие точки — два фокуса | Их положения задают расстояния, используемые в определении. |
| Условие принадлежности — модуль разности расстояний до фокусов постоянен | Для точки P должно выполняться |PF₁ − PF₂| = d. |
| Количество частей — две ветви | На разных ветвях точка ближе к разным фокусам. |
| Ось симметрии — фокальная ось | Прямая проходит через оба фокуса. |
| Вторая ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку между фокусами | При отражении относительно этой прямой расстояния до фокусов меняются местами. |
Таблица помогает быстро проверить, какие данные задают гиперболу, и вспомнить её основные свойства. При проверке конкретной точки начните с расстояний до обоих фокусов, а при поиске симметричной точки используйте указанную ось. Для построения важно отдельно контролировать постоянную разность и факт пересечения окружностей.
Даны фокусы F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 10 см, и постоянная разность d = 4 см. Нужно выяснить, принадлежит ли гиперболе точка P, если PF₁ = 9 см и PF₂ = 5 см. Затем проверим точку Q, для которой QF₁ = 8 см и QF₂ = 3 см. Такой пример показывает, что проверять следует именно модуль разности, а не одно из расстояний отдельно.
Ответ: P принадлежит гиперболе, Q не принадлежит. При таких данных условие существования гиперболы выполнено, потому что 4 см меньше 10 см. Если при проверке получилось отрицательное значение без модуля, нужно взять его абсолютную величину.
Пусть фокусы F₁ и F₂ находятся на расстоянии 10 см, а постоянная разность равна 4 см. Построим точки, которые находятся на расстояниях 6 см от F₁ и 10 см от F₂. Разность этих радиусов равна 4 см, а их сумма больше 10 см, поэтому окружности пересекутся и дадут подходящие точки.
Ответ: точки пересечения окружностей для пар радиусов 6 и 10 см, а также 8 и 4 см принадлежат гиперболе. Каждая пара обычно даёт по две точки, расположенные по разные стороны от фокальной оси. Если окружности не пересекаются, выбранные радиусы не дают точек построения, даже когда их разность равна d.
Фокусы F₁ и F₂ лежат на одной прямой, расстояние между ними равно 10 см. У точки A расстояния до фокусов равны AF₁ = 9 см и AF₂ = 5 см, а постоянная разность гиперболы — 4 см. Определим ветвь и укажем, какие отражения помогут найти симметричные точки.
Ответ: A принадлежит ветви, более близкой к F₂. Отражение относительно фокальной оси даёт точку той же ветви, а относительно серединного перпендикуляра — точку другой ветви. Можно выполнить оба отражения подряд, чтобы получить ещё одну точку исходной ветви.
Забывают модуль. Тогда проверяют только один порядок вычитания и замечают лишь одну ветвь. Это происходит, когда разность расстояний воспринимают как обычное вычитание без учёта того, какое расстояние больше. Для самопроверки сначала вычтите расстояния, затем возьмите модуль и сравните результат с d.
Называют фокусами точки кривой. Фокусы не выбирают среди точек гиперболы: это заранее заданные точки, относительно которых измеряют расстояния. Ошибку легко допустить, если считать, что все названия элементов обозначают части самой кривой. Проверьте себя: фокусы должны быть фиксированы до построения, а условие принадлежности относится к другой точке P.
Допускают d, равное расстоянию между фокусами или большее него. Кажется, что чем больше разность, тем дальше можно отодвинуть точку, но свойство треугольника ограничивает возможную разность расстояний. При равенстве обычная кривая не получается, а при превышении условие невозможно выполнить. Перед построением сравните d и F₁F₂: для гиперболы необходимо 0 < d < F₁F₂.
Отмечают пересечения окружностей без проверки. Сам факт пересечения ещё не гарантирует, что радиусы соответствуют заданной постоянной разности. Путаница возникает, если построение выполняют механически и не сверяют выбранные числа с определением. Запишите радиусы r₁ и r₂, проверьте |r₁ − r₂| = d, а после построения проверьте полученные расстояния.
Для работы с гиперболой нужны навыки нахождения расстояния между точками и построения окружности с заданными центром и радиусом. Понятие геометрического места точек помогает увидеть, как одно общее условие на расстояния задаёт целую кривую. Позднее гипербола встретится при изучении конических сечений и графиков некоторых зависимостей. Поэтому умение проверять условие и строить точки пригодится не только в задачах по геометрии.
Чем гипербола отличается от эллипса?
Для гиперболы постоянен модуль разности расстояний до двух фокусов, а для эллипса — сумма этих расстояний. Поэтому гипербола состоит из двух ветвей, а эллипс образует замкнутую кривую.
Почему у гиперболы две ветви?
Точка может быть ближе к первому фокусу или ко второму. В каждом случае разность расстояний имеет свой знак, а модуль этой разности может оставаться одним и тем же. Так получаются две отдельные части кривой.
Могут ли фокусы лежать на самой гиперболе?
Нет, если постоянная разность расстояний положительна и меньше расстояния между фокусами. Для точки-фокуса расстояния до фокусов равны нулю и расстоянию между ними, поэтому условие гиперболы не выполняется.
Как проверить, принадлежит ли точка гиперболе?
Найдите расстояния от точки до обоих фокусов. Вычтите одно расстояние из другого и возьмите модуль результата. Точка принадлежит гиперболе, если полученное число равно заданной постоянной разности.
Как построить точки гиперболы по её определению?
Выберите два радиуса, разность которых по модулю равна заданной постоянной. Постройте окружности с центрами в фокусах и выбранными радиусами, затем отметьте их точки пересечения. Каждую такую точку проверьте по условию на разность расстояний.
§ 23*. Гипербола
