"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Парабола — линия, каждая точка которой равноудалена от фиксированной точки и фиксированной прямой. Эти элементы называют фокусом и директрисой. Чтобы описать параболу уравнением, удобно выбрать координаты так, чтобы её вершина оказалась в начале координат, а ось симметрии совпала с Ox. Тогда получается уравнение y² = 2px: по нему можно найти фокус, директрису и направление ветвей. Параметр p помогает сравнивать ширину парабол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Парабола — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой. Точку называют фокусом, а прямую — директрисой параболы. Такое определение позволяет описать линию не только рисунком, но и точным условием для каждой её точки.
Фокус параболы — фиксированная точка, расстояние до которой равно расстоянию от каждой точки параболы до директрисы. Фокус задаёт положение параболы относительно её оси. По его координатам можно восстановить параметр и уравнение параболы.
Директриса параболы — фиксированная прямая, равноудалённые от которой точки образуют параболу. Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Директриса нужна, чтобы определить, какие точки удовлетворяют определению параболы.
Ось параболы — прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе. Она делит параболу на две зеркально симметричные части, поэтому при отражении точки относительно оси получается другая точка той же параболы. Ось также показывает направление, вдоль которого расположены вершина и фокус.
Для вывода уравнения удобно выбрать систему координат, связанную с фокусом и директрисой. Ось Ox направляют перпендикулярно директрисе, а начало координат помещают посередине между фокусом и прямой. Тогда вершина оказывается в начале координат, фокус — справа от неё, а директриса — слева; это упрощает координаты и вычисления.
Обозначим через p расстояние между фокусом и директрисой. При выбранном начале координат фокус имеет координаты (p/2; 0), а директриса задаётся как x = −p/2. Для точки M(x; y) расстояние до фокуса равно √((x − p/2)² + y²), а расстояние до директрисы — x + p/2. Приравняв эти расстояния и возведя обе части в квадрат, получаем (x − p/2)² + y² = (x + p/2)²; после сокращения выходит y² = 2px.
В уравнении y² = 2px параметр p положителен. Сравнение с выводом сразу даёт координаты фокуса (p/2; 0) и уравнение директрисы x = −p/2. Вершина — точка (0; 0): именно там ось Ox пересекает параболу, когда y = 0.
Ось Ox служит осью симметрии, потому что замена y на −y не меняет уравнение: квадрат обеих координат y одинаков. При любом x, для которого 2px неотрицательно, решения по y имеют противоположные знаки. Поскольку p > 0, равенство y² = 2px возможно только при x ≥ 0, поэтому ветви направлены вправо, в сторону положительных значений x.
Параметр p влияет на ширину параболы. Если выразить x через y, получится x = y²/(2p): при одинаковом ненулевом y увеличение p уменьшает x, то есть точки оказываются ближе к оси симметрии. Например, для y² = 2x при y = 2 получаем x = 2, а для y² = 8x — x = 1; значит, парабола y² = 8x шире. Параметр нельзя путать с коэффициентом при x: в уравнении y² = 8x он равен 4.
| Характеристика | Описание |
|---|---|
| Уравнение | y² = 2px, где p > 0. |
| Параметр | p — расстояние между фокусом и директрисой. |
| Вершина | (0; 0). |
| Фокус | (p/2; 0). |
| Директриса | x = −p/2. |
| Ось симметрии | Ось Ox, или прямая y = 0. |
| Направление ветвей | В сторону положительных значений x. |
| Условие принадлежности точки параболе | Координаты (x; y) должны удовлетворять равенству y² = 2px. |
Сначала сравни заданное уравнение с каноническим видом, чтобы определить p. Затем по таблице найди вершину, фокус, директрису и ось симметрии. Для проверки точки подставляй в уравнение сразу обе координаты.
Для параболы y² = 8x найдём параметр, вершину, фокус, директрису и ось симметрии. Чтобы применить формулы, сравним коэффициент при x с каноническим уравнением y² = 2px. После этого остальные элементы определяются напрямую.
Ответ: p = 4; вершина (0; 0); фокус (2; 0); директриса x = −2; ось симметрии Ox. Проверка: вершина расположена между фокусом и директрисой, как и должно быть при выбранной системе координат. Расстояние от вершины до фокуса и до директрисы равно 2.
Проверим, принадлежит ли A(2; 4) параболе y² = 8x, и найдём точки пересечения с прямой x = 2. В первом случае достаточно проверить равенство для координат точки, во втором подставить фиксированное значение x и решить уравнение относительно y. Появление двух решений объясняется симметрией относительно Ox.
Ответ: точка A лежит на параболе; точки пересечения — (2; 4) и (2; −4). Обе точки имеют одинаковую абсциссу и противоположные ординаты. Это подтверждает симметрию параболы относительно оси Ox.
Найдём уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью Ox и фокусом F(3; 0), а затем проверим равенство расстояний для M(2; 2√3). Поскольку фокус лежит на положительной полуоси Ox, используем вид y² = 2px. После записи уравнения проверку выполним по определению, отдельно вычислив расстояния до фокуса и директрисы.
Ответ: уравнение — y² = 12x; точка M не равноудалена от фокуса и директрисы и не лежит на параболе. Расстояния равны √13 и 5, а √13 ≠ 5. Такая проверка связывает вычисление по уравнению с исходным определением параболы.
Путают y² = 2px и x² = 2py, хотя квадрат возводится у координаты, перпендикулярной направлению ветвей. Ошибка возникает, если ориентироваться только на слово «парабола», не замечая, какая ось выбрана. Сверь форму уравнения: y² означает ось симметрии Ox, а x² — Oy; для данного уравнения ветви направлены вдоль Ox.
Координату фокуса иногда принимают за p, забывая, что она равна p/2. Это происходит из-за того, что параметр обозначен буквой, а расстояние от вершины до фокуса составляет только половину расстояния между фокусом и директрисой. Проверь себя обратной подстановкой: если фокус (a; 0), то p = 2a.
Директрису могут записать как x = p/2, поставив знак не с той стороны. В этой системе фокус расположен справа от вершины, а директриса — слева, поэтому координата прямой отрицательная. Проверка проста: при p > 0 директриса x = −p/2 должна лежать левее начала координат.
При проверке точки иногда подставляют только одну координату или забывают возвести y в квадрат. Так можно получить случайное совпадение и ошибочно признать точку принадлежащей параболе. Подставь x и y в y² = 2px и сравни значения обеих частей; точка лежит на линии только при верном равенстве.
Для изучения параболы нужны координаты точки, уравнение прямой и формулы расстояния между точками и от точки до прямой. Именно с их помощью определение через фокус и директрису превращается в уравнение. Поэтому полезно уметь находить расстояния по координатам и работать с простыми уравнениями.
Парабола встречается при изучении конических сечений — кривых, получаемых при пересечении конуса плоскостью. Она также связана с графиками квадратичных функций: некоторые такие графики имеют форму параболы. Знание фокуса, директрисы и симметрии помогает рассматривать эту линию с геометрической стороны.
Что называется параболой?
Парабола — множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до одной фиксированной точки равно расстоянию до одной фиксированной прямой. Фиксированную точку называют фокусом, а прямую — директрисой.
Чем фокус отличается от директрисы?
Фокус — это фиксированная точка, а директриса — фиксированная прямая. Для любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Как по уравнению параболы найти её фокус и директрису?
Сравни уравнение с видом y² = 2px и найди p. Фокус имеет координаты (p/2; 0), а директриса задаётся уравнением x = −p/2.
Почему в уравнении параболы координата y возводится в квадрат?
В выбранной системе координат парабола симметрична относительно оси Ox. Поэтому вместе с точкой (x; y) ей принадлежит точка (x; −y), что отражено квадратом y в уравнении y² = 2px.
Как понять, лежит ли данная точка на параболе?
Подставь обе координаты точки в уравнение параболы. Если после вычислений получается верное равенство, точка принадлежит параболе; если нет — не принадлежит.
4.3. Парабола
