§ 37. Вписанные и описанные многоугольники

Определения и обозначения

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной около многоугольника. Такое определение помогает понять, какие фигуры можно изучать с помощью свойств окружности и вписанных углов.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины, а это расстояние является радиусом окружности. Поэтому радиус можно находить, рассматривая треугольники с вершинами в центре и многоугольнике.

Описанный многоугольник — многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности и лежат по одну сторону от неё. Окружность при этом находится внутри многоугольника. Такое понятие связывает длины сторон с равными отрезками касательных.

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон описанного многоугольника. Её центр равноудалён от прямых, содержащих стороны, а расстояние до каждой из них равно радиусу. Это позволяет использовать расстояния от центра до сторон при решении задач.

Как это устроено

Чтобы построить описанную окружность, сначала выбирают три вершины, не лежащие на одной прямой. Через три такие точки проходит единственная окружность: её центр находится на пересечении серединных перпендикуляров к двум хордам. Но для многоугольника этого ещё недостаточно — нужно проверить остальные вершины. Если они не лежат на найденной окружности, она не является описанной около всего многоугольника.

У выпуклого четырёхугольника описанная окружность существует тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Причина связана со свойством вписанных углов: углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Если вершины A, B, C, D идут по окружности, углы A и C опираются на две дуги, вместе составляющие полный круг, поэтому их сумма равна 180°. Обратно, при такой сумме четвёртая вершина оказывается на окружности, проведённой через три остальные.

Центр вписанной окружности должен быть равноудалён от всех сторон. Точки, равноудалённые от двух пересекающихся прямых, лежат на биссектрисах углов между ними, поэтому центр окружности, касающейся сторон угла, находится на его биссектрисе. Для многоугольника центр ищут как общую точку биссектрис его углов; из неё можно опустить перпендикуляры на стороны, и их длины будут равны радиусу. Так объясняется, почему при поиске вписанной окружности в задачах рассматривают биссектрисы.

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Из каждой вершины к окружности проведены две касательные, и их отрезки до точек касания равны. Если обозначить длины касательных из вершин A, B, C, D через x, y, z, t, то стороны по порядку выражаются как x + y, y + z, z + t, t + x. При сложении противоположных сторон обе суммы дают x + y + z + t, откуда следует равенство.

У правильного многоугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Симметрия правильной фигуры означает, что её центр одинаково удалён от всех вершин и от всех сторон. Поэтому через вершины можно провести описанную окружность, а окружность с тем же центром будет касаться каждой стороны. В задачах с правильными многоугольниками это позволяет использовать оба радиуса, не вводя разные центры.

Вписанные и описанные многоугольники

Таблица помогает быстро отличить два вида многоугольников и вспомнить признаки для четырёхугольников. Сначала определите, что связано с окружностью: вершины или стороны, затем примените соответствующее условие. Не переносите признак для четырёхугольников на многоугольники с другим числом сторон.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность, если ∠A = 72°, а ∠C = 108°.

1. Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов должна составлять 180°.
2. Углы A и C противоположные, поэтому складываем их: 72° + 108° = 180°.
3. Выполнено необходимое и достаточное условие вписанности четырёхугольника, значит, существует окружность, проходящая через его вершины.

Ответ: четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность.

Задача 2. Найдите радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной 8 см.

1. Соединим центр окружности с вершинами шестиугольника. Получатся шесть равных треугольников, так как центральные углы равны 360° : 6 = 60°.
2. Каждый треугольник равнобедренный: две его стороны являются радиусами. При вершине в центре угол равен 60°, значит, два других угла также по 60°.
3. Треугольники равносторонние, поэтому радиус равен стороне шестиугольника: R = 8 см.

Ответ: 8 см.

Задача 3. Стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 5 см, 7 см и 9 см. Первые три стороны идут по порядку. Найдите четвёртую сторону.

1. Обозначим четвёртую сторону через x. Противоположными первой и третьей сторонам являются третья и первая, а второй и четвёртой — четвёртая и вторая.
2. Для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Поэтому 5 + 9 = 7 + x.
3. Получаем 14 = 7 + x, откуда x = 7. Результат положителен и согласуется с условием о длине стороны.

Ответ: 7 см.

Типичные ошибки

Иногда многоугольник называют вписанным, когда на окружности лежат только несколько его вершин. Это происходит из-за того, что замечают подходящую дугу или отдельные точки и не проверяют фигуру целиком. По определению на окружности должны находиться все вершины. Для проверки перечислите каждую вершину и убедитесь, что расстояние от неё до центра окружности одинаково радиусу.

Часто путают вписанный и описанный многоугольники. Названия похожи, поэтому легко забыть, что в первом случае окружность проходит через вершины, а во втором касается сторон. Перед решением определите, что именно дано в задаче: точки на окружности или касание сторон. Затем соотнесите это с нужным признаком.

Ещё одна ошибка — считать, что сумма противоположных углов 180° у любого четырёхугольника. Это не общее свойство четырёхугольников, а признак вписанного четырёхугольника. Проверяйте, что речь идёт о паре противоположных углов, и используйте условие только для доказательства вписанности или нахождения угла.

При работе с описанным четырёхугольником могут сложить соседние стороны вместо противоположных. Ошибку провоцирует неверное сопоставление сторон при записи равенства. Обозначьте стороны по кругу, например AB, BC, CD, DA, и составьте равенство AB + CD = BC + DA; так пары сразу видны.

Связь с другими темами

Для этих задач нужны свойства касательной к окружности и равенство касательных, проведённых из одной точки. Признак вписанного четырёхугольника опирается на свойства вписанных углов и дуг. Связь с правильными многоугольниками помогает находить периметр и площадь через радиусы вписанной и описанной окружностей. Условия вписанности и описанности также используют в доказательствах и при построении геометрических фигур.

Что запомнить

• У вписанного многоугольника все вершины лежат на одной окружности.
• У описанного многоугольника все стороны касаются одной окружности.
• Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
• У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны.
• Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.
• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон многоугольника.
• Правильный многоугольник можно вписать в окружность и описать около окружности.