"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Окружность связывает величины углов и отрезков точными соотношениями. Угол между касательной и хордой сравнивают с вписанным углом, опирающимся на ту же дугу, а отрезки пересекающихся хорд и секущих связывают равенством произведений. Эти правила помогают находить неизвестные длины и углы, а также доказывать геометрические утверждения. Главное — верно определить дугу и различать внешнюю часть секущей и её полную длину.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её ещё в двух точках. Он стягивает дугу между этими точками, не содержащую вершину угла. Поэтому, говоря о таком угле, важно указывать, на какую именно дугу он опирается. Это помогает сравнивать углы, образованные разными хордами.
Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания, а его стороны — касательную и хорду. Он стягивает дугу, концами которой являются точка касания и второй конец хорды. У хорды AB это дуга AB. Уточнение дуги нужно, чтобы найти соответствующий вписанный угол: равенство относится не к любому углу окружности.
Пересекающиеся хорды — хорды, имеющие общую внутреннюю точку. Если AB и CD пересекаются в P, то точка P делит первую хорду на PA и PB, а вторую — на PC и PD. Эти четыре отрезка используются в соотношении между длинами хорд. Условие «внутренняя точка» отличает эту ситуацию от пересечения секущих снаружи окружности.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках; касательная имеет с ней одну общую точку. Если из внешней точки P проведена секущая PAB, где A ближе к P, то PA — внешняя часть, а PB — вся секущая. Её внутренний отрезок — AB, расположенный внутри окружности. Для касательной PT точка T — точка касания, а PT — длина касательной.
Угол между касательной и хордой связан с вписанным углом, опирающимся на ту же дугу, потому что оба угла задаются одной хордой и одной дугой. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а центральный угол, опирающийся на дугу, вдвое больше вписанного. Если рассмотреть равнобедренный треугольник с радиусами к концам хорды, его углы показывают, что угол между хордой и касательной равен вписанному углу. Следовательно, при выборе угла нужно следить за соответствующей дугой.
Для пересекающихся хорд можно соединить концы хорд сторонами и рассмотреть треугольники APC и DPB. Углы APC и DPB равны как вертикальные, а углы PAC и PDB равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольники подобны, а их соответствующие стороны пропорциональны. Из пропорции PA/PD = PC/PB следует PA · PB = PC · PD. Поэтому перемножаются отрезки, лежащие на одной хорде, а произведения для двух хорд совпадают.
Пусть из внешней точки P проведены две секущие PAB и PCD, причём A и C — ближайшие к P точки пересечения с окружностью. Соединим A с D и B с C: треугольники PAD и PCB подобны, так как угол при P общий, а углы при точках окружности опираются на одну дугу. Из пропорции соответствующих сторон получается PA/PB = PC/PD, откуда PA · PB = PC · PD. В каждом произведении внешний отрезок умножается на всю секущую до дальней точки.
Касательная получается как предельный частный случай секущей: две точки пересечения с окружностью сближаются и становятся одной точкой касания T. Из общего соотношения для секущих следует, что произведение внешнего отрезка на всю секущую превращается в квадрат длины касательной. Поэтому для касательной PT и секущей PAB выполняется PT² = PA · PB. Здесь PA — внешняя часть, а PB — вся секущая, не только отрезок AB внутри окружности.
Эти соотношения дают способ находить неизвестные длины без измерения окружности. Сначала нужно определить, где расположена точка пересечения или внешняя точка, затем обозначить нужные отрезки и выбрать подходящую теорему. Равенство произведений можно преобразовать в уравнение и решить его. Если в задаче участвуют углы, сначала устанавливают, на какую дугу они опираются.
| Ситуация | Связь между углами или отрезками | Условия и обозначения |
|---|---|---|
| Угол между касательной и хордой | Угол между касательной и хордой равен вписанному углу | Оба угла опираются на одну дугу |
| Пересечение двух хорд внутри окружности | PA · PB = PC · PD | Хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в P |
| Две секущие из одной внешней точки | PA · PB = PC · PD | PA и PC — внешние части; PB и PD — целые секущие |
| Касательная и секущая из одной внешней точки | PT² = PA · PB | PT — касательная, PA — внешняя часть секущей PAB, PB — вся секущая |
Сначала выберите строку, соответствующую расположению точек в задаче. Затем сверьте обозначения: особенно важно отличить отрезок секущей до ближней точки от всей её длины. В формулах равенство произведений сохраняется только при указанном расположении точек.
Касательная в точке A и хорда AB образуют угол 38°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Искомый угол образован хордами, а значит, его вершина лежит на окружности. По условию он опирается на ту же дугу, что и угол между касательной и хордой.
Ответ: 38°. Здесь не нужно удваивать или делить данный угол: равенство применяется именно к углу, опирающемуся на ту же дугу AB. Если бы был задан другой вписанный угол, сначала следовало бы проверить его дугу.
Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что PA = 3, PB = 8 и PC = 4. Найдите PD. Поскольку P — внутренняя точка пересечения хорд, можно приравнять произведения отрезков, на которые она их делит. Неизвестная длина входит в произведение отрезков хорды CD.
Ответ: 6. Проверка: произведение отрезков AB равно 3 · 8 = 24, а произведение отрезков CD равно 4 · 6 = 24. Равенство выполняется, значит, значение согласуется с теоремой.
Из точки P вне окружности проведены касательная PT и секущая PAB, причём A — ближайшая к P точка пересечения. Известно, что PA = 4 и AB = 5. Найдите PT. В теореме нужна вся секущая PB, поэтому прежде чем подставлять данные, сложим внешний отрезок PA и внутренний отрезок AB.
Ответ: 6. В вычислении участвуют внешний отрезок 4 и вся секущая длиной 9, а не только участок AB. Подстановка одного лишь AB вместо PB дала бы неверный результат.
Первая ошибка — принять внешнюю часть секущей за всю её длину. Так происходит, потому что обе длины начинаются во внешней точке, но заканчиваются в разных точках окружности. В произведении нужна длина до дальней точки пересечения: например, PB = PA + AB. Проверка проста: отметьте на прямой обе точки пересечения и убедитесь, что вся секущая проходит через участок внутри окружности.
Вторая ошибка — применять равенство произведений к хордам, которые не пересекаются внутри одной окружности, или перемножать отрезки разных хорд. Формула PA · PB = PC · PD требует, чтобы P была общей внутренней точкой именно хорд AB и CD. Причина путаницы — сходные обозначения и похожие формулы для секущих. Перед подстановкой проверьте, какие два отрезка составляют каждую хорду.
Третья ошибка — считать угол между касательной и хордой равным любому вписанному углу. Равенство работает лишь тогда, когда оба угла опираются на одну дугу. Проверяя себя, отметьте концы хорды и проследите, на какую дугу опирается каждый угол. Если дуги разные, напрямую приравнивать углы нельзя.
Четвёртая ошибка — в случае касательной умножить её длину на внешний отрезок. Касательная соответствует совпавшим точкам пересечения, поэтому длина касательной входит в произведение дважды: PT · PT = PT². Сверьте формулу с обозначениями: PT² = PA · PB. Если в записи стоит только одно PT, проверьте, не забыта ли вторая равная сторона.
Для работы с углами и отрезками нужны свойства хорд и касательной, понятия дуги, центрального и вписанного углов. Связь угла с дугой опирается на свойства окружности, а вывод формулы для пересекающихся хорд требует знания подобия треугольников. Поэтому полезно уметь находить равные углы и устанавливать соответствие сторон подобных фигур. Эти знания объединяют задачи о длинах с задачами об углах.
Соотношения применяются при решении задач на окружности, доказательстве геометрических утверждений и вычислении длин в планиметрии. Они позволяют перейти от геометрического расположения точек к уравнению. Так неизвестную длину можно найти по нескольким известным отрезкам без вычисления радиуса или длины окружности. Аналогичные рассуждения помогают обосновывать формулы, а не только пользоваться ими.
Как определить, какой вписанный угол равен углу между касательной и хордой?
Найдите концы хорды: именно они задают дугу, на которую опирается угол между касательной и хордой. Равен ему вписанный угол, стороны которого проходят через те же концы и который опирается на эту же дугу.
Почему в теореме о пересекающихся хордах перемножаются именно эти отрезки?
Треугольники, составленные из отрезков хорд и сторон между их концами, подобны. Их соответствующие стороны дают пропорцию, из которой следует равенство произведений отрезков каждой хорды: PA · PB = PC · PD.
Что называют внешней частью секущей?
Это отрезок от внешней точки до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью. Вся секущая продолжается от внешней точки до дальней точки пересечения.
Чем формула для двух секущих отличается от формулы для касательной и секущей?
Для двух секущих перемножают внешнюю часть каждой на всю соответствующую секущую. Если вместо одной секущей проведена касательная, её длину возводят в квадрат: PT² = PA · PB.
Можно ли применять эти соотношения, если точка пересечения хорд находится вне окружности?
Нет, теорема о произведениях отрезков пересекающихся хорд относится к точке внутри окружности. Если точка снаружи, рассматривают две секущие или касательную и секущую и применяют соответствующие соотношения.
§ 36. Углы и отрезки, связанные с окружностью
