§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Он стягивает дугу между точками пересечения сторон с окружностью, не содержащую вершину угла. Это определение помогает понять, какую именно дугу нужно использовать при вычислении.

Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания, а его стороны — касательную и хорду. Дуга, заключённая внутри угла, соединяет конец хорды в точке касания с другим концом хорды. Такое уточнение нужно, чтобы не перепутать её с большей или другой дугой между теми же точками.

Пересекающиеся хорды — хорды, имеющие общую точку внутри окружности. Если хорды AB и CD пересекаются в P, то первая делится на AP и PB, а вторая — на CP и PD. Обозначения позволяют записать связь между длинами образовавшихся частей.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если её проводят из точки вне окружности, часть до первого пересечения называют внешней, а часть между точками пересечения — внутренней. Различать эти части нужно, чтобы верно составить произведение длин.

Как это устроено

Связь вписанного угла с центральным объясняется радиусами, проведёнными к концам дуги. Они образуют равнобедренные треугольники, поскольку все радиусы окружности равны. Из равенства углов при основании этих треугольников следует: центральный угол, опирающийся на дугу, вдвое больше вписанного. Поэтому вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны половине одного и того же центрального угла.

Угол между касательной и хордой также связан с дугой через центральный угол. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому вместе с хордой он образует прямоугольный треугольник. Этот треугольник равнобедренный: обе его стороны от центра до окружности — радиусы. Сопоставив его углы с центральным углом, опирающимся на дугу между концами хорды, получаем, что угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги.

При пересечении двух хорд внутри окружности возникают пары смежных углов: каждый такой угол вместе с соседним составляет 180°. Есть и другое полезное следствие: треугольники, образованные частями хорд, подобны, поскольку имеют равные вертикальные углы и пары углов, связанных с одной дугой. Из пропорциональности их сторон следует равенство произведений отрезков: AP · PB = CP · PD. Здесь перемножают части каждой отдельной хорды, а не произвольные отрезки.

Для двух секущих, проведённых из точки внутри окружности, внешних частей нет: обе секущие делятся точкой пересечения на два отрезка. К ним применяют соотношение для пересекающихся хорд: произведения двух частей одной секущей и двух частей другой равны. Иная формула относится к двум секущим из точки вне окружности. Подобие треугольников, образованных секущими и отрезками между точками пересечения с окружностью, даёт равенство произведений внешнего отрезка на всю секущую.

Для секущей из внешней точки полная длина — сумма внешней и внутренней частей. Поэтому формула имеет вид e₁ · (e₁ + i₁) = e₂ · (e₂ + i₂), где e обозначает внешний, а i — внутренний отрезок. Нельзя применять эту формулу к точке внутри окружности: там нет внешних отрезков, и работает соотношение для пересекающихся хорд. Перед вычислением отметьте на чертеже границы окружности и положение исходной точки.

Углы и отрезки, связанные с окружностью

Сначала определите, где расположена вершина угла или исходная точка секущих, затем выберите подходящую строку. Для секущих из внешней точки используйте произведение внешнего отрезка на всю секущую; для внутренней точки перемножайте части каждой хорды.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу величиной 86°. Найдите угол. Здесь дана величина дуги, а не центрального угла, но связь с вписанным углом такая же: он составляет половину дуги, на которую опирается.

1. Записываем правило: вписанный угол равен половине дуги.
2. Подставляем значение: 86° : 2 = 43°.
3. Проверяем смысл ответа: угол меньше дуги, поскольку он составляет её половину.

Ответ: 43°.

Задача 2. Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что AP = 3, PB = 8, CP = 4. Найдите PD. Нужно использовать теорему о пересекающихся хордах: отрезки каждой хорды образуют отдельное произведение. Неизвестный отрезок PD перемножается с CP, а не с частью другой хорды.

1. Записываем равенство: AP · PB = CP · PD.
2. Подставляем известные длины: 3 · 8 = 4 · PD.
3. Получаем 24 = 4 · PD, поэтому PD = 24 : 4 = 6.
4. Проверяем: произведения равны, 3 · 8 = 4 · 6 = 24.

Ответ: PD = 6.

Задача 3. Из точки P вне окружности проведены две секущие. На первой внешняя часть равна 3, внутренняя — 5; на второй внутренняя часть равна 4. Найдите внешнюю часть второй секущей. Обозначим её через x. Полная длина каждой секущей равна сумме внешней и внутренней частей.

1. Для двух секущих из внешней точки приравниваем произведения внешнего отрезка на полную длину.
2. Для первой секущей получаем 3 · (3 + 5), для второй — x · (x + 4). Составляем уравнение: 24 = x(x + 4).
3. Раскрываем скобки: x² + 4x − 24 = 0. Корни равны −2 ± 2√7.
4. Длина положительна, поэтому выбираем x = −2 + 2√7, а отрицательный корень не подходит.

Ответ: 2√7 − 2.

Типичные ошибки

Вписанный угол иногда приравнивают ко всей дуге. Так происходит, если забыть, что угол составляет половину дуги, или не проверить, действительно ли он на неё опирается. Для самопроверки назовите дугу по концам сторон угла и разделите её градусную величину на 2.

В теореме о пересекающихся хордах могут перемножить отрезки разных хорд, например AP · CP. Обычно ошибка возникает из-за того, что отрезки берут просто рядом на чертеже. Проверьте соответствие: в одном произведении должны стоять две части одной хорды, а в другом — две части второй.

При решении задачи о секущих иногда перемножают только внутренние части. Это случается, когда внешнюю часть путают с полной длиной секущей. Если исходная точка вне окружности, запишите произведение как «внешний отрезок · (внешний + внутренний)» и сравните обе секущие.

Угол между касательной и хордой могут связать не с той дугой между концами хорды. Причина — дуги выбирают только по концам, не учитывая положение сторон угла. Посмотрите, какая дуга действительно лежит внутри угла, и используйте половину именно её величины.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, хорды, дуги, касательной и центрального угла. Также пригодится свойство равнобедренного треугольника: радиусы одной окружности равны, поэтому треугольник с двумя радиусами равнобедренный. Эти знания помогают выводить соотношения, а не только запоминать формулы.

Связи углов и отрезков окружности применяют в задачах на вычисление длин и углов, а также при доказательстве подобия треугольников. Подобие, в свою очередь, объясняет многие равенства произведений отрезков. Эти результаты полезны и при изучении геометрических преобразований.

Что запомнить

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги.
• При пересечении хорд произведения отрезков равны: AP · PB = CP · PD.
• Для двух секущих из внешней точки произведения внешнего отрезка на всю секущую равны.
• Полная длина секущей включает и внешнюю, и внутреннюю части.