"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Её площадь вычисляют по формуле S = 4πR², где R — радиус. Если сферу пересечь двумя параллельными плоскостями, между ними получится сферический пояс; его площадь равна 2πRh, где h — расстояние между плоскостями. Эти формулы помогают находить площади сферических поверхностей и видеть, как они меняются при изменении радиуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — поверхность, состоящая из точек пространства, равноудалённых от центра; расстояние от центра до любой её точки называют радиусом. Обычно радиус обозначают R. Это определение помогает отличать саму поверхность от шара, который включает ещё и все точки внутри неё.
Площадь сферы — величина, характеризующая площадь её поверхности; для сферы радиуса R она равна 4πR². Здесь π — постоянное число, а квадрат радиуса показывает, что при изменении размера сферы площадь меняется не так же, как длина. Формула нужна, чтобы вычислять площадь поверхности без разбиения сферы на отдельные участки.
Сферический пояс — часть сферы между двумя параллельными плоскостями. Плоскости вырезают на сфере две окружности, а участок поверхности между ними и образует пояс. Понятие используют, когда требуется найти площадь только части сферы, а не всей поверхности.
Высота сферического пояса — расстояние между плоскостями, ограничивающими пояс; её обозначают h. Это расстояние измеряют по перпендикуляру к плоскостям, а не вдоль поверхности сферы. Обозначение позволяет записать площадь пояса через его высоту и радиус сферы.
Сферический пояс появляется, когда сферу пересекают двумя параллельными плоскостями: между линиями их пересечения со сферой остаётся часть поверхности. Высотой пояса называют расстояние между плоскостями, потому что оно измеряется по направлению, перпендикулярному каждой из них. Поэтому высота не является длиной дуги по поверхности. В формуле она задаёт ширину вырезанного участка в пространстве.
Площадь пояса выражается формулой S = 2πRh, где R — радиус всей сферы, а h — расстояние между плоскостями. Радиус здесь один и тот же для любого положения пояса, хотя радиусы окружностей сечения могут быть разными. Поэтому при неизменных R и h перемещение плоскостей вверх или вниз не меняет площадь пояса. Например, у поясов одинаковой высоты на одной сфере площади равны, даже если они расположены на разных уровнях.
Чтобы получить формулу площади всей сферы, можно считать её поясом, ограниченным двумя плоскостями, касающимися сферы в противоположных точках. Расстояние между такими плоскостями равно диаметру, то есть 2R. Подставим эту высоту в формулу пояса: S = 2πR · 2R = 4πR². Так площадь сферы получается как частный случай формулы для пояса.
Формула S = 4πR² показывает, что площадь зависит от квадрата радиуса, а не от самого радиуса. Если радиус станет в k раз больше, новая площадь будет равна 4π(kR)² = k² · 4πR². Значит, площадь увеличится в k² раз: например, при удвоении радиуса она возрастёт в четыре раза. Это полезно учитывать, сравнивая сферы разных размеров.
Если в задаче требуется найти радиус по известной площади, из равенства S = 4πR² сначала получают R² = S / 4π, а затем извлекают квадратный корень. Отрицательное значение не подходит, поскольку радиус — длина. Перед вычислениями проверьте единицы: радиус в сантиметрах даст площадь в квадратных сантиметрах. Если дан диаметр, его нужно разделить на два.
| Фигура или величина | Формула площади | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Сферический пояс | S = 2πRh | R — радиус сферы, h — высота пояса |
| Вся сфера | S = 4πR² | R — радиус сферы |
| Высота сферического пояса | h = расстояние между плоскостями | Плоскости параллельны; расстояние измеряют перпендикулярно им |
| Изменение площади при увеличении радиуса в k раз | S₂ = k²S₁ | S₁ — начальная площадь, S₂ — новая площадь |
Сначала определите, о какой поверхности спрашивают: о всей сфере или только о поясе. Затем выберите соответствующую строку и подставьте данные в формулу. В последней строке сравнивают площади, когда известен коэффициент изменения радиуса.
Задача 1. Найдите площадь сферы радиуса 3 см. Нужно применить формулу для всей сферы, так как в условии не выделена отдельная часть поверхности. Радиус уже дан, поэтому можно сразу подставить его в формулу и не искать дополнительные величины.
Ответ: 36π см². Квадратные единицы указывают, что найдено именно значение площади, а не длины.
Задача 2. Площадь сферы равна 100π см². Найдите её радиус. Здесь неизвестен радиус, поэтому сначала подставим известную площадь в формулу площади сферы, а затем решим полученное уравнение. Поскольку радиус является длиной, из двух корней квадратного уравнения подходит только положительный.
Ответ: 5 см. Проверка: 4π · 5² = 100π см², то есть полученная площадь совпадает с условием.
Задача 3. Сферу пересекли двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 5 см. Радиус сферы равен 8 см. Найдите площадь сферического пояса. Расстояние между плоскостями и есть высота пояса, поэтому отдельно вычислять её не требуется. Важно подставлять радиус сферы, а не радиус окружности, по которой плоскость пересекает сферу.
Ответ: 80π см². Единица площади квадратная, потому что площадь пояса выражает размер поверхности.
Вместо радиуса иногда подставляют диаметр: он кажется подходящей величиной, поскольку проходит через центр. Но формулы записаны именно через R, поэтому диаметр сначала нужно разделить на два. Для проверки обозначьте известную величину буквами и убедитесь, что в формуле используется радиус.
В формуле площади сферы могут забыть квадрат и записать 4πR. Обычно это происходит из-за невнимательности при переписывании формулы. Сверьте запись с S = 4πR² и проверьте размерность: без квадрата радиуса результат не будет иметь единиц площади.
При вычислении площади пояса иногда берут радиус окружности сечения вместо радиуса сферы. Окружности, полученные при пересечении, действительно имеют собственные радиусы, но формула S = 2πRh использует радиус всей сферы. Проверьте, что подставлен именно размер от центра сферы до её поверхности.
Ещё одна ошибка — записать ответ в сантиметрах, метрах или других единицах длины. Площадь получается из величин длины, поэтому её единицы должны быть квадратными: например, см². Проверка проста: если в условии радиус задан в сантиметрах, а ответ описывает площадь, укажите квадратные сантиметры.
Для работы с площадью сферы полезны формулы длины окружности и площади круга, а также свойства параллельных плоскостей. Они помогают понимать окружности сечений и находить высоту пояса. Полученные знания применяются в задачах на площадь поверхности шара и при сопоставлении сферических тел с описанными вокруг них цилиндрами. Такие сравнения показывают, как площади разных поверхностей связаны с одним и тем же радиусом.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — только поверхность, состоящая из точек на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает эту поверхность и все точки внутри неё.
Почему площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса?
По формуле S = 4πR² площадь равна постоянному числу 4π, умноженному на квадрат радиуса. Поэтому увеличение радиуса в k раз увеличивает площадь в k² раз.
Как найти площадь сферического пояса?
Используйте формулу S = 2πRh, где R — радиус сферы, а h — высота пояса. Высота равна расстоянию между параллельными плоскостями, ограничивающими пояс.
Почему площадь сферического пояса не зависит от его положения на сфере?
Формула площади содержит радиус сферы и высоту пояса, но не содержит расстояние пояса от центра. Поэтому при одинаковых R и h площадь остаётся одинаковой, даже если пояс переместить выше или ниже.
Как найти радиус сферы, если известна её площадь?
Подставьте площадь в равенство S = 4πR² и выразите R: R = √(S / 4π). Берут положительный корень, потому что радиус — положительная длина.
4.3. Плошадь сферы
