4.2. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Определения и обозначения

Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая секущей плоскостью. Высота сегмента h — расстояние от этой плоскости до наиболее удалённой точки сегмента, а R обозначает радиус всего шара. Эти величины нужны, чтобы описать размер «крышки» шара и подставить данные в формулу её объёма.

Шаровой слой — часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями. Расстояние между плоскостями обозначают h, а радиусы кругов, которыми плоскости рассекают шар, — r₁ и r₂. Такое обозначение помогает не путать высоту слоя с размерами его граничных сечений.

Шаровой сектор — тело, ограниченное частью шаровой поверхности и конической поверхностью с вершиной в центре шара. Высоту сектора связывают с высотой соответствующего шарового сегмента и обозначают h; радиус шара, как и прежде, обозначают R. Это позволяет находить объём сектора по тем же геометрическим данным, но по отдельной формуле.

Как это устроено

Положение секущей плоскости определяет, насколько большую часть шара она отсекает. Высота сегмента h измеряется перпендикулярно от плоскости до края шара, а не от центра шара. Если расстояние от центра до плоскости равно d, то в сечении через центр получается прямоугольный треугольник: его гипотенуза R, один катет d, другой — радиус сечения r. Поэтому r² + d² = R².

Формула объёма сегмента получается из связи площадей параллельных сечений с расстоянием от них до центра шара. По мере движения плоскости от края к середине радиусы сечений меняются, поэтому объём нельзя считать как объём цилиндра с одним и тем же основанием. Итоговая формула для сегмента высоты h в шаре радиуса R: V = πh²(R − h/3). В ней используются именно радиус шара и высота сегмента.

Шаровой слой можно представить как разность двух сегментов, отсекаемых параллельными плоскостями. Вычитание убирает часть шара по одну сторону от слоя и оставляет только промежуток между плоскостями. Если радиусы граничных сечений равны r₁ и r₂, а расстояние между плоскостями равно h, после преобразования формул сегментов получается V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6. Оба радиуса нужны, потому что сечения слоя имеют разные площади.

Сектор связан с сегментом тем, что к «крышке» шара добавляют часть тела, ограниченную конической поверхностью, вершина которой находится в центре шара. Высота этого сектора совпадает с высотой соответствующего сегмента, но геометрический состав тел разный. Поэтому объём сектора вычисляют по формуле V = 2πR²h/3, где R — радиус шара, h — высота сегмента. Подстановка в формулу сегмента вместо этого выражения даст объём другого тела.

Чтобы выбрать формулу, сначала определите границы тела по условию. Одна секущая плоскость и часть поверхности шара означают сегмент; две параллельные плоскости — слой; шаровая поверхность вместе с конической поверхностью — сектор. Затем выпишите известные величины: для сегмента и сектора нужны R и h, а для слоя — h, r₁ и r₂. Если требуется, недостающую величину сначала находят по теореме Пифагора.

Объёмы частей шара

Сначала найдите в условии описание границ тела, затем выберите соответствующую строку. Сверьте каждую известную величину с обозначением в таблице: радиус шара нельзя подменять радиусом сечения. Если для выбранной формулы не хватает данных, сначала найдите их из геометрических соотношений.

Разбор задач

Задача 1. Радиус шара равен 6 см, высота шарового сегмента — 3 см. Найдите его объём. Дано одно сечение, поэтому речь идёт о сегменте, и нужна формула с R и h. Подставим значения в неё и отдельно вычислим выражение в скобках.

1. Записываем формулу: V = πh²(R − h/3).
2. Подставляем R = 6 см и h = 3 см: V = π · 3²(6 − 3/3).
3. Вычисляем: V = 9π · 5 = 45π см³.

Вычисления дают объём в кубических сантиметрах, поскольку все исходные длины заданы в сантиметрах. Высота входит в формулу дважды: и как множитель h², и в скобках. Ответ: 45π см³.

Задача 2. Шаровой слой высотой 4 см ограничен сечениями радиусов 3 см и 5 см. Найдите объём слоя. Здесь известны расстояние между плоскостями и оба радиуса сечений, значит, подходит формула слоя. Важно подставить оба радиуса в квадратах, а высоту оставить отдельным множителем.

1. Записываем формулу: V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6.
2. Подставляем h = 4 см, r₁ = 3 см и r₂ = 5 см: V = π · 4(3 · 3² + 3 · 5² + 4²)/6.
3. Считаем скобки: 27 + 75 + 16 = 118, поэтому V = 472π/6 = 236π/3 см³.

Оба радиуса использованы, потому что слой ограничен двумя кругами, а сечения могут иметь разные размеры. При сокращении дроби 472/6 получаем 236/3. Ответ: 236π/3 см³.

Задача 3. Радиус шара равен 10 см, радиус круга основания сегмента — 8 см, а плоскость основания находится по одну сторону от центра. Найдите объём соответствующего шарового сектора. Сначала потребуется найти высоту сегмента: без неё формулу сектора применить нельзя. По условию плоскость находится с одной стороны от центра, поэтому речь идёт о меньшем сегменте над этой плоскостью.

1. По теореме Пифагора расстояние d от центра до плоскости равно √(10² − 8²) = √36 = 6 см.
2. Высота меньшего сегмента h = R − d = 10 − 6 = 4 см.
3. Подставляем в формулу сектора: V = 2πR²h/3 = 2π · 10² · 4/3 = 800π/3 см³.

Сначала нашли расстояние до плоскости, а затем перешли к высоте сегмента — эти величины не равны. В формуле сектора используется радиус шара 10 см и найденная высота 4 см. Ответ: 800π/3 см³.

Типичные ошибки

Путают радиус шара с радиусом круга сечения. Это происходит потому, что обе величины называют радиусами, хотя одна относится к шару, а другая — к плоскому кругу. Для сегмента и сектора в формуле нужен R, для слоя — r₁ и r₂. Проверьте себя: подпишите, к какой фигуре относится каждый радиус.

Подставляют вместо высоты сегмента расстояние от центра до секущей плоскости. Эти отрезки отличаются: первый идёт от плоскости до края шара, второй — от центра до плоскости. Ошибка часто появляется, когда на схеме не отмечено положение центра. Проверка: высота малого сегмента равна R − d, а не d.

В формуле слоя забывают одно из сечений или возводят в квадрат высоту вместо радиусов. Причина — попытка применить формулу по аналогии с формулами других тел, не сверяя обозначения. В выражении 3r₁² + 3r₂² + h² должны присутствовать оба радиуса и расстояние между плоскостями. Перед вычислениями выпишите все три данные отдельно.

Для шарового сектора используют формулу шарового сегмента. Тела связаны, и в обоих случаях встречаются R и h, поэтому легко принять их за одно и то же. Но сектор дополнительно ограничен конической поверхностью, а его объём задаётся формулой V = 2πR²h/3. Сверьте формулу с названием тела в условии.

Связь с другими темами

Для решения задач понадобятся формулы объёмов шара, цилиндра и конуса, а также теорема Пифагора. Связь радиуса сечения, радиуса шара и расстояния от центра до плоскости вытекает из свойств сечения шара и прямоугольного треугольника. Площади кругов помогают понять, почему размеры сечений влияют на объём слоя. Эти формулы применяются и в задачах на комбинации тел, когда нужно найти объём отдельной части шара.

Что запомнить

• Объём шарового сегмента: V = πh²(R − h/3).
• Объём шарового слоя: V = πh(3r₁² + 3r₂² + h²)/6.
• Объём шарового сектора: V = 2πR²h/3.
• В формуле слоя h — расстояние между параллельными плоскостями.
• Радиусы сечений и радиус шара — разные геометрические величины.
• Объём измеряется в кубических единицах.