4.1. Объем шара

Определения и обозначения

Шар — часть пространства, ограниченная сферой; его размер задают радиусом R. Сфера состоит из точек, находящихся на расстоянии R от центра, а сам шар включает и внутренние точки. Радиус нужен, чтобы описать размер шара и подставить его в формулу объёма.

Объём шара — величина, показывающая, какую часть пространства занимает шар. Его обозначают буквой V и измеряют в кубических единицах, например см³ или м³. Объём помогает сравнивать вместимость тел и решать задачи, где известен размер шара или требуется его найти.

Сечение шара плоскостью, проходящей на расстоянии x от центра, — круг радиуса √(R² − x²), если |x| ≤ R. Чем дальше плоскость от центра, тем меньше радиус круга; при |x| = R сечение превращается в точку. Эта зависимость нужна, чтобы сравнить шар с другими телами на одинаковых уровнях.

Принцип Кавальери утверждает: тела равны по объёму, если их высоты одинаковы, а площади сечений параллельными плоскостями на каждом уровне равны. Высоту можно разбить на сколько угодно тонких слоёв, и соответствующие слои двух тел будут иметь одинаковый объём. Поэтому принцип позволяет находить объём сложного тела через сравнение с более простым.

Как это устроено

Чтобы вывести формулу объёма шара, его сравнивают с телом, объём которого легко вычислить. Удобно взять цилиндр радиуса R и высоты 2R: шар помещается в нём так, что касается боковой поверхности и обоих оснований. Но равенства высоты и радиуса ещё недостаточно, чтобы заключить, что объёмы связаны простым образом. Для сравнения нужно проверить площади сечений на каждом уровне.

Внутри цилиндра мысленно размещают два конуса с общей вершиной в центре цилиндра и основаниями на его верхнем и нижнем основаниях. Каждый конус имеет высоту R и радиус основания R. На расстоянии |x| от центра радиус сечения конуса равен |x|: при движении от вершины к основанию сечения увеличиваются пропорционально расстоянию. Два конуса вместе занимают в этом сечении круг радиуса |x|.

Площадь сечения цилиндра на любом уровне равна πR², поскольку его радиус не меняется. Если вычесть круг сечения двух конусов площадью πx², останется площадь π(R² − x²). Это не площадь всего оставшегося сечения: оно имеет форму кольца, так как из круга цилиндра удалён меньший круг конусов. Площадь сечения шара на расстоянии x от центра тоже равна π(√(R² − x²))² = π(R² − x²).

Теперь можно применить принцип Кавальери: высота шара и оставшейся части цилиндра одинакова, а площади их сечений совпадают на каждом уровне. Значит, объём шара равен объёму цилиндра за вычетом объёмов двух конусов. Объём цилиндра равен πR² · 2R = 2πR³, а каждый конус имеет объём ⅓πR² · R = ⅓πR³. Вычитание даёт 2πR³ − ⅔πR³ = 4⁄3πR³.

Формула V = 4⁄3πR³ показывает, как объём зависит от радиуса: радиус возводится в третью степень. Поэтому если радиус заменить на kR, новый объём станет 4⁄3π(kR)³ = k³V. Например, удвоение радиуса увеличивает объём в восемь раз, а не в два. Это правило удобно применять для сравнения шаров, даже когда точное значение π вычислять не требуется.

Объём шара: формулы и зависимости

Выберите строку по тому, что известно в задаче: радиусу, объёму или отношению радиусов. Если дан диаметр, сперва разделите его на два. Следите за единицами: при радиусе в сантиметрах объём получится в см³.

Разбор задач

Найдите объём шара радиуса 3 см. Здесь радиус уже дан, поэтому дополнительных преобразований не требуется. Подставим его в формулу, а затем проверим, что единицы ответа соответствуют объёму.

1. Запишем формулу: V = 4⁄3πR³.
2. Подставим R = 3 см: V = 4⁄3π · 3³ = 4⁄3π · 27 = 36π.
3. Поскольку радиус был задан в сантиметрах, укажем кубические сантиметры.

Ответ: 36π см³.

Объём шара равен 36π см³. Найдите его радиус. В отличие от предыдущей задачи, неизвестен радиус, поэтому сначала выразим его из формулы. Кубический корень отменяет третью степень радиуса.

1. Запишем равенство: 36π = 4⁄3πR³.
2. Разделим обе части на 4⁄3π: R³ = 36π · 3⁄4π = 27.
3. Извлечём кубический корень: R = ∛27 = 3 см.

Ответ: 3 см.

Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого. Во сколько раз различаются их объёмы? Вычислять каждый объём отдельно не нужно: отношение объёмов зависит от куба отношения радиусов. Обозначим меньший радиус через r, тогда больший равен 2r.

1. Запишем отношение объёмов: V₂⁄V₁ = (4⁄3π(2r)³)⁄(4⁄3πr³).
2. Сократим одинаковые множители 4⁄3π и r³: V₂⁄V₁ = 2³ = 8.
3. Проверим смысл результата: большему радиусу соответствует больший объём.

Ответ: объём большего шара в 8 раз больше.

Типичные ошибки

• Подставляют диаметр вместо радиуса. Это происходит, когда в условии привычно ищут расстояние через весь шар, но формула содержит именно R. Проверьте обозначения: если дан диаметр d, сначала найдите R = d⁄2.
• Забывают множитель 4⁄3 и записывают V = πR³. Такое бывает, если запомнить только степень радиуса или спутать формулу шара с другой формулой объёма. Для самопроверки сравните запись с полной формулой V = 4⁄3πR³.
• Неверно возводят радиус в третью степень или извлекают кубический корень. Ошибка часто возникает при поспешных вычислениях, особенно когда под корнем неочевидное число. Выполните обратную проверку: куб найденного радиуса должен равняться значению R³.
• Указывают единицы площади вместо единиц объёма. Это случается, если в ответе оставляют см² по привычке после работы с площадью сечения. Проверьте размерность: радиус возводится в куб, поэтому ответ должен быть в см³, м³ или других кубических единицах.

Связь с другими темами

Для вывода формулы объёма шара нужны формулы объёмов цилиндра и конуса, а также принцип Кавальери. Формула цилиндра даёт объём исходного тела сравнения, а формула конуса позволяет вычесть объём двух конусов. Принцип Кавальери объясняет, почему полученная разность действительно равна объёму шара.

Формула шара пригодится в задачах о телах вращения и шаровых частях. Она позволяет вычислять объёмы целых шаров, а также помогает рассуждать о частях шара, если известны дополнительные размеры. Зависимость объёма от куба радиуса полезна при сравнении тел разных масштабов.

Что запомнить

• Объём шара радиуса R равен 4⁄3πR³.
• В формулу подставляют радиус, а не диаметр.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• При увеличении радиуса в k раз объём увеличивается в k³ раз.
• Формулу объёма шара можно получить сравнением с цилиндром и двумя конусами по принципу Кавальери.