§ 41. Объем шара

Определения и обозначения

Шар — геометрическое тело, состоящее из точек пространства, удалённых от центра не более чем на заданное расстояние. Его можно представить как заполненный круглый объект вместе с границей, а не только как поверхность. Это определение позволяет отличать шар от сферы и понимать, для какого тела находят объём.

Радиус шара — расстояние от его центра до любой точки границы; обычно его обозначают буквой R. У всех точек границы расстояние до центра одинаково, поэтому для вычислений достаточно знать один радиус. Именно R подставляют в формулу объёма; если дан диаметр, сначала делят его на два.

Объём шара — величина, характеризующая пространство, занимаемое шаром. Его обозначают буквой V и измеряют в кубических единицах: например, в см³ или м³. Это определение помогает выбрать не только нужную формулу, но и правильные единицы ответа.

Полушарие — половина шара, полученная при рассечении его плоскостью, проходящей через центр. Такая плоскость делит шар на две равные части, поэтому их объёмы одинаковы. Понятие нужно, чтобы находить объём половины шара, не повторяя вывод формулы заново.

Как это устроено

Чтобы получить формулу объёма, шар мысленно рассекают плоскостями, параллельными основанию, и сравнивают площади сечений. Пусть x — расстояние от центра шара до выбранной плоскости. Радиус круглого сечения вместе с x образует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна R. По теореме Пифагора квадрат радиуса сечения равен R² − x², поэтому его площадь составляет π(R² − x²).

Для сравнения берут цилиндр радиуса R и высоты 2R, расположенный так, чтобы его середина совпадала с центром шара. Из цилиндра мысленно удаляют два одинаковых конуса, соединённых общей вершиной в центре; основания конусов совпадают с основаниями цилиндра. На расстоянии x от середины радиус сечения конуса равен |x|: он растёт пропорционально расстоянию от вершины. Поэтому площадь, оставшаяся в сечении цилиндра после удаления конусов, равна πR² − πx², то есть π(R² − x²).

Теперь на каждом уровне соответствующие сечения шара и оставшейся части цилиндра имеют одинаковую площадь. Их высоты тоже равны: обе фигуры простираются от −R до R относительно центра. Принцип Кавальери утверждает, что такие тела имеют равные объёмы. Значит, объём шара можно вычислить как объём цилиндра за вычетом объёмов двух конусов.

Объём цилиндра равен πR²·2R = 2πR³. У каждого конуса радиус основания R и высота R, поэтому его объём равен 1/3·πR²·R = 1/3·πR³; у двух конусов вместе — 2/3·πR³. Вычитаем эту величину из объёма цилиндра: 2πR³ − 2/3·πR³ = 4/3·πR³. Так получается формула V = 4/3·πR³.

Плоскость через центр делит шар на две равные по объёму части, поэтому объём полушария составляет половину объёма шара: V = 2/3·πR³. Из формулы также видно, что объём зависит от куба радиуса, а не от самого радиуса. Если радиус увеличить в k раз, в формуле вместо R появится kR, и объём умножится на k³.

Формулы объёма шара и зависимость объёма от радиуса

В таблице можно выбрать строку по известному объекту или изменению радиуса. Если нужно сравнить объёмы двух шаров, удобно найти отношение их радиусов и возвести его в куб. Перед вычислениями проверьте, что в формулу подставлен именно радиус.

Разбор задач

Задача 1. Найдите объём шара радиуса 3 см. Здесь радиус уже дан, поэтому достаточно подставить его в формулу объёма. Степень радиуса указывает, что сначала нужно вычислить куб, а единицы результата будут кубическими.

1. Запишем формулу: V = 4/3·πR³.
2. Подставим R = 3 см: V = 4/3·π·3³.
3. Вычислим: 3³ = 27, поэтому V = 4/3·27π = 36π см³.

Ответ: 36π см³, или приблизительно 113,1 см³. Точное значение обычно оставляют с π, если в задаче не требуется десятичное приближение. См³ показывает, что найден именно объём, а не площадь.

Задача 2. Объём шара равен 288π см³. Найдите его радиус. Неизвестен R, поэтому сначала нужно выразить из формулы его куб, а затем извлечь кубический корень. Коэффициент π можно сократить, поскольку он присутствует с обеих сторон равенства.

1. Запишем равенство: 4/3·πR³ = 288π.
2. Сократим π и разделим обе части на 4/3: R³ = 288·3/4 = 216.
3. Извлечём кубический корень: R = ∛216 = 6 см.

Ответ: 6 см. Проверка помогает избежать ошибки: подставим найденный радиус в формулу и получим 4/3·π·216 = 288π см³. Это совпадает с условием, значит, значение радиуса найдено верно.

Задача 3. Радиус одного шара в 2 раза больше радиуса другого. Во сколько раз различаются их объёмы? Сравнивать сами объёмы по отдельности не нужно: коэффициент 4/3·π одинаков для обоих шаров. Достаточно возвести отношение радиусов в третью степень.

1. Обозначим меньший радиус R, тогда больший равен 2R.
2. Отношение объёмов равно (2R)³/R³, поскольку общие множители 4/3 и π сокращаются.
3. Вычислим: (2R)³/R³ = 8R³/R³ = 8.

Ответ: объём шара с радиусом вдвое больше превышает объём другого в 8 раз. Такой способ работает и для других отношений радиусов: например, при увеличении радиуса втрое отношение объёмов будет 3³ = 27. Направление сравнения сохраняется: большему радиусу соответствует больший объём.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить диаметр вместо радиуса. Это случается потому, что в условии часто указывают именно диаметр, а он тоже описывает размер шара. Перед вычислением проверьте обозначение: радиус равен половине диаметра, и только его нужно возводить в куб.

Вторая ошибка — забыть куб у радиуса и использовать, например, R². Так могут ошибиться, перенося привычную формулу площади круга на объём шара. Проверьте степень по формуле V = 4/3·πR³: при увеличении радиуса вдвое объём должен вырасти в восемь раз, а не в четыре.

Третья ошибка — принять объём полушария за объём целого шара. Путаница возникает из-за того, что обе формулы используют один и тот же радиус. Сверьте результат с формулами: для полушария объём равен 2/3·πR³, то есть половине объёма шара.

Четвёртая ошибка — записать ответ в квадратных единицах, например см². Квадратные единицы подходят для площади, а объём измеряет пространство в трёх измерениях. Проверяйте размерность: если радиус дан в сантиметрах, ответ должен быть в см³.

Связь с другими темами

Для понимания вывода формулы нужны площадь круга и объёмы цилиндра и конуса: именно эти величины сравнивают при рассуждении о сечениях и разности тел. В задачах также пригодятся вычисление степеней и кубических корней, преобразование формул и работа с отношениями величин. Формула шара применяется при изучении тел вращения, составных тел и изменении размеров геометрических объектов. Она позволяет находить объём круглых предметов и оценивать, как изменение их радиуса влияет на занимаемое пространство.

Что запомнить

• Объём шара радиуса R равен 4/3·πR³.
• Если дан диаметр, радиус равен половине диаметра.
• Объём полушария равен 2/3·πR³.
• Объём шара пропорционален кубу радиуса.
• При увеличении радиуса в k раз объём увеличивается в k³ раз.
• Объём измеряют в кубических единицах.