§ 40. Объем конуса

Определения и обозначения

Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и кругом основания. Его основные элементы — вершина, круг основания и образующие, соединяющие вершину с точками окружности основания. Эти элементы помогают представить форму тела и понять, какие величины участвуют в вычислениях.

Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Её обозначают буквой h. Именно высота показывает прямое расстояние от вершины до основания и используется в формуле объёма.

Радиус основания конуса — радиус круга, лежащего в основании, обычно его обозначают буквой r. Он определяет размер основания, поэтому через него можно найти площадь круга Sосн = πr². Без радиуса или уже известной площади основания объём вычислить нельзя.

Объём конуса — величина, характеризующая пространство, занимаемое конусом, и обозначается V. Объём зависит от размера основания и высоты тела. Измеряют его в кубических единицах: например, см³ или м³.

Как это устроено

Объём конуса определяется площадью основания и высотой, потому что именно эти величины задают его масштаб в двух главных направлениях. Если основание увеличить, все поперечные сечения станут больше; если увеличить высоту, тело станет вытянутее. Длина образующей сама по себе не задаёт объём: она важна только тогда, когда по ней требуется восстановить высоту.

Формула V = ⅓S_оснh связана с объёмом цилиндра, имеющего такое же основание и такую же высоту. У цилиндра объём равен S_оснh, а конус с теми же параметрами занимает в три раза меньше пространства. Поэтому объёмы конуса и цилиндра относятся как 1:3, и в формуле появляется множитель ⅓.

Если основание круглое, его площадь равна πr². Подставляя это выражение вместо S_осн в основную формулу, получаем V = ⅓πr²h. Так радиус входит в формулу в квадрате: увеличение радиуса в два раза увеличивает площадь основания и объём в четыре раза при неизменной высоте.

В записи формулы h означает именно перпендикулярную высоту, а не образующую. В прямом конусе образующая l, радиус r и высота h образуют прямоугольный треугольник, поэтому h можно найти по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). После этого найденную высоту подставляют в формулу объёма.

Величины и формулы для объёма конуса

Сначала определите, какая величина неизвестна, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Если дана площадь основания, радиус находить не нужно; если дан радиус, сначала используйте площадь круга πr². Перед подстановкой проверьте единицы всех величин.

Разбор задач

Задача 1

Радиус основания конуса равен 3 см, а высота — 4 см. Требуется найти объём. Даны радиус и высота, поэтому удобно применить формулу для круглого основания.

1. Записываем формулу: V = ⅓πr²h.
2. Подставляем значения: V = ⅓ · π · 3² · 4.
3. Вычисляем: V = ⅓ · π · 9 · 4 = 12π см³.

Ответ: 12π см³. Единица получилась кубической, поскольку в формуле перемножаются три величины длины.

Задача 2

Объём конуса равен 48π см³, радиус основания — 4 см. Найдём высоту. Все данные уже выражены в сантиметрах и кубических сантиметрах, поэтому перевод единиц не требуется.

1. Выражаем высоту: h = 3V/(πr²).
2. Подставляем известные значения: h = 3 · 48π/(π · 4²).
3. Сокращаем π и вычисляем: h = 144/16 = 9 см.

Ответ: 9 см. Проверка показывает, что ⅓ · π · 4² · 9 = 48π см³, значит найденная высота подходит.

Задача 3

Образующая прямого конуса равна 13 см, радиус основания — 5 см. Объём нельзя сразу найти по образующей, потому что в формуле нужна высота. Сначала восстановим её из прямоугольного треугольника.

1. По теореме Пифагора l² = h² + r², поэтому h = √(l² − r²).
2. Подставляем: h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.
3. Теперь находим объём: V = ⅓π · 5² · 12 = 100π см³.

Ответ: 100π см³. В этой задаче образующая использована только для нахождения перпендикулярной высоты.

Типичные ошибки

Подставляют образующую вместо высоты. Такая ошибка возникает потому, что образующая тоже начинается в вершине и кажется подходящей длиной, но она наклонена к основанию. Проверьте себя: в формуле должна стоять длина, перпендикулярная плоскости основания.

Забывают множитель ⅓ и получают объём цилиндра с теми же основанием и высотой. Обычно это происходит при механической подстановке в формулу S_оснh. Сравните результат с объёмом соответствующего цилиндра: объём конуса должен быть втрое меньше.

Возводят в квадрат диаметр вместо радиуса или используют πr вместо площади основания. Причина — смешение формул длины окружности и площади круга. Запишите отдельно S_осн = πr² и убедитесь, что r — именно половина диаметра.

Записывают ответ в квадратных единицах или смешивают сантиметры и метры. Объём получается при умножении площадей на длину, поэтому единица должна быть кубической. До вычислений переведите все длины в одну систему единиц.

Связь с другими темами

До изучения объёма конуса нужны формула площади круга, формула объёма цилиндра и понятие перпендикулярной высоты. Сравнение с цилиндром объясняет множитель ⅓ в формуле конуса. Теорема Пифагора помогает найти высоту по радиусу и образующей, а сама формула пригодится при изучении усечённого конуса и других задач на объёмы тел.

Что запомнить

• Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Для круглого основания V = ⅓πr²h.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Образующая не заменяет высоту в формуле объёма.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• У конуса и цилиндра с равными основаниями и высотами объёмы относятся как 1:3.