"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Конус — тело с круглым основанием и вершиной, а его объём показывает, сколько пространства оно занимает. Чтобы вычислить объём, нужны радиус основания и перпендикулярная высота. Формула V = ⅓πR²h связана с формулой объёма пирамиды: конус можно представить как предел таких пирамид. Поэтому конус с теми же основанием и высотой, что у цилиндра, занимает втрое меньше места.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное круглым основанием и боковой поверхностью, сходящейся в вершине. Представь круг, над которым находится одна точка: от неё к каждой точке окружности основания идут отрезки, образующие боковую поверхность. Это определение помогает отличать конус от цилиндра, у которого два основания и нет вершины. Конусом также называют тело, а не только его боковую поверхность.
Радиус основания конуса — радиус круга, лежащего в основании; его обычно обозначают буквой R. Радиус соединяет центр круга с любой точкой его окружности, поэтому он нужен для вычисления площади основания. Если в условии дан диаметр, то радиус вдвое меньше: R = d ÷ 2. Именно радиус, а не диаметр, подставляют в формулу объёма.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её обозначают h. Перпендикуляр образует с плоскостью основания прямой угол, поэтому высота показывает расстояние между вершиной и основанием. Она нужна в формуле объёма наряду с площадью основания. Наклонный отрезок от вершины к окружности называется образующей и высотой не является.
Объём конуса — величина, характеризующая пространство, занимаемое конусом. Объём помогает сравнивать вместимость тел и решать задачи, в которых известны размеры конуса. Его измеряют в кубических единицах: например, если длины заданы в сантиметрах, объём получится в см³. Для вычисления достаточно знать радиус основания и высоту.
Связать объём конуса с объёмом пирамиды позволяет представление о многогранниках, вписанных в конус. Можно выбрать в основании многоугольник и соединить его вершины с вершиной конуса: получится пирамида внутри конуса. Если увеличивать число сторон многоугольника, его форма всё точнее приближается к кругу, а пирамида — к конусу. Поэтому конус рассматривают как предел таких пирамид, имеющих ту же высоту и всё более точное основание.
Для каждой вписанной пирамиды объём равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sh. Когда основание пирамиды приближается к круглому основанию конуса, площадь основания приближается к площади круга, а высота остаётся прежней. Значит, в пределе сохраняется та же зависимость между объёмом, площадью основания и высотой. Так получают формулу конуса V = ⅓Sh, а не просто предполагают её по внешнему виду тела.
Основание конуса — круг радиуса R, площадь которого равна πR². Подставим эту площадь вместо S в общую формулу: V = ⅓Sh = ⅓πR²h. Здесь R измеряется в единицах длины, а h — в тех же единицах; произведение R²h имеет размерность объёма. Если нужно найти высоту или радиус, формулу можно преобразовать: h = 3V ÷ (πR²), R = √(3V ÷ (πh)).
У цилиндра с таким же круглым основанием и такой же высотой объём вычисляется без множителя ⅓: Vц = πR²h. Сравнение с формулой конуса показывает, что Vк = ⅓Vц, то есть конус занимает треть объёма цилиндра. Это соотношение справедливо не только для круглых оснований: объём конуса составляет треть объёма цилиндра с равными площадями оснований и высотами. Если известен объём цилиндра, объём соответствующего конуса находят делением на три.
Преобразование формулы выбирают в зависимости от того, какую величину требуется найти. Например, если известны V и R, из равенства V = ⅓πR²h сначала умножают обе части на три, а затем делят на πR²; так получают h = 3V ÷ (πR²). Если известны V и h, то R² = 3V ÷ (πh), а радиус равен квадратному корню из этой величины. Перед подстановкой полезно проверить, что все длины выражены в одинаковых единицах.
| Величина | Конус | Цилиндр с теми же основанием и высотой |
|---|---|---|
| Площадь основания | S = πR² | S = πR² |
| Высота | h | h |
| Формула объёма | V = ⅓πR²h | V = πR²h |
| Отношение объёмов | Vк = ⅓Vц | Vц = 3Vк |
Сначала найди в таблице нужное тело и проверь, какие величины известны. Для конуса в формуле обязательно присутствует множитель ⅓, а для цилиндра его нет. Сравнивая объёмы, убедись, что основания и высоты тел действительно равны.
Задача 1. Радиус основания конуса равен 3 см, высота — 8 см. Найдите объём. Известны обе величины, необходимые в формуле V = ⅓πR²h, поэтому сначала возведём радиус в квадрат. Затем умножим площадь основания на высоту и не забудем разделить результат на три.
Ответ: 24π см³. Приближённо это около 75,4 см³. Кубические сантиметры получаются потому, что площадь измеряется в см², а высота — в см.
Задача 2. Объём конуса равен 48π см³, радиус основания — 6 см. Найдите высоту. Неизвестна высота, поэтому удобно преобразовать формулу V = ⅓πR²h относительно h. После этого подставим известные значения и сократим π, присутствующее и в объёме, и в знаменателе.
Ответ: 4 см. Проверка обратной подстановкой даёт V = ⅓ · π · 36 · 4 = 48π см³, как и указано в условии. Значит, найденная высота удовлетворяет исходным данным.
Задача 3. Конус и цилиндр имеют равные площади оснований и высоты. Объём цилиндра равен 150 см³. Найдите объём конуса и объясните результат. У тел одинаковы две величины, входящие в формулы: S основания и h. Поэтому достаточно применить соотношение объёмов, а не искать радиус или заново вычислять площадь.
Ответ: 50 см³. Причина результата — множитель ⅓ в формуле объёма конуса. Он делает объём конуса втрое меньше объёма цилиндра при одинаковых площади основания и высоте.
Первая ошибка — забыть множитель ⅓ и вычислить объём конуса как объём цилиндра. Это часто происходит, когда в памяти остаётся только произведение площади основания на высоту. Проверь себя: если у конуса и цилиндра одинаковые основание и высота, результат для конуса должен быть втрое меньше.
Вторая ошибка — подставить в формулу диаметр вместо радиуса. Диаметр выглядит как привычный размер круга, но площадь основания выражается через радиус. Если дан диаметр d, сначала вычисли R = d ÷ 2, а затем проверь, что в формуле стоит именно R².
Третья ошибка — возвести радиус в первую степень, а не во вторую. Так бывает, если перепутать формулу площади круга с произведением длины окружности на другую величину. Перед вычислениями отдельно запиши S = πR², а после вычисления проверь единицы: площадь должна быть в квадратных, а объём — в кубических единицах.
Четвёртая ошибка — принять образующую за высоту конуса. Образующая наклонена, а высота опускается из вершины перпендикулярно плоскости основания; именно высота входит в формулу объёма. Чтобы проверить выбор, убедись, что отрезок образует прямой угол с плоскостью основания. Если известна только образующая, сначала может понадобиться найти высоту из дополнительных данных.
Для вычисления объёма нужна площадь круга, поэтому важно помнить формулу S = πR² и уметь находить радиус по диаметру. Множитель ⅓ связывает объём конуса с уже изученной формулой объёма пирамиды. Понимание этого перехода объясняет происхождение формулы, а не только помогает запомнить её.
Сравнение конуса и цилиндра полезно при решении задач на объёмы тел вращения. Если известны объём одного тела и равенство оснований и высот, можно быстро найти объём другого. Формула объёма конуса также пригодится при изучении усечённого конуса и составных тел, которые можно разбить на более простые части.
Почему в формуле объёма конуса есть множитель одна треть?
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Конус можно представить как предел вписанных в него пирамид с теми же основанием и высотой, поэтому для него сохраняется множитель ⅓.
Как отличить высоту конуса от его образующей?
Высота — это перпендикуляр от вершины конуса к плоскости основания. Образующая идёт от вершины к точке окружности основания по боковой поверхности и обычно наклонена к основанию.
Можно ли найти объём конуса, если известен диаметр основания?
Да. Сначала раздели диаметр на два и найди радиус R, затем подставь его и высоту в формулу V = ⅓πR²h. Без высоты одного диаметра для вычисления объёма недостаточно.
Как найти высоту конуса по его объёму и радиусу основания?
Из формулы V = ⅓πR²h вырази высоту: h = 3V ÷ (πR²). Затем подставь известные объём и радиус, соблюдая согласованность единиц измерения.
Как соотносятся объёмы конуса и цилиндра с одинаковыми основанием и высотой?
Объём конуса составляет одну треть объёма такого цилиндра. Иначе говоря, цилиндр в три раза вместительнее конуса при равных площадях оснований и высотах.
81. Объем конуса
