"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Конус — тело с вершиной и плоским основанием; чтобы определить, сколько места он занимает, вычисляют его объём. Главная формула связывает объём с площадью основания и высотой: V = ⅓Sоснh. Множитель ⅓ появляется потому, что конус и пирамида с одинаковыми основанием и высотой имеют равные объёмы. Для прямого кругового конуса площадь основания равна πr², поэтому объём можно найти по радиусу и высоте. Важно не перепутать высоту с образующей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания. Вершина — точка, к которой сходятся образующие конической поверхности, а основание — плоская фигура, от которой начинается тело. Эти части помогают описать форму конуса и задать размеры, необходимые для вычисления его объёма.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её длину обозначают h. Высота показывает расстояние между вершиной и основанием в направлении, перпендикулярном основанию. Образующая, напротив, лежит на боковой поверхности и соединяет вершину с точкой границы основания, поэтому она не заменяет высоту в формуле объёма.
Объём конуса — величина, характеризующая, сколько места занимает конус; его обозначают буквой V. Объём зависит и от размеров основания, и от высоты: одинаковая высота не гарантирует одинаковый объём, если основания различаются. Это понятие позволяет сравнивать тела и решать задачи, где требуется определить вместимость или количество вещества.
Площадь основания — площадь плоской фигуры, ограничивающей конус снизу; её обозначают Sосн. Для кругового конуса основание является кругом, поэтому его площадь равна πr², где r — радиус круга. Площадь основания входит в общую формулу, так что сначала важно правильно определить форму основания и найти её площадь.
Чтобы получить формулу объёма конуса, сравним его с пирамидой, у которой площадь основания и высота такие же. Объём такой пирамиды равен ⅓Sоснh, поэтому требуется обосновать, что конус занимает столько же места. Их основания могут иметь разную форму, но для сравнения достаточно сопоставить площади параллельных основанию сечений на одинаковой высоте.
Принцип Кавальери утверждает: если два тела заключены между параллельными плоскостями и сечения на каждом одинаковом уровне имеют равные площади, то объёмы тел равны. У конуса и пирамиды с равными основаниями и высотами площади таких сечений совпадают. Значит, их объёмы равны, и известная формула объёма пирамиды даёт формулу для конуса: V = ⅓Sоснh.
Рассмотрим сечение, параллельное основанию, на расстоянии x от вершины конуса; полная высота равна h. Сечение подобно основанию, а все его линейные размеры относятся к размерам основания как x к h. Площадь подобной фигуры меняется как квадрат коэффициента подобия, поэтому Sсеч = Sосн(x/h)². Это объясняет, почему сечения конуса уменьшаются к вершине быстрее, чем их линейные размеры.
Для прямого кругового конуса основание — круг радиуса r, площадь которого вычисляется по формуле Sосн = πr². Подставим её в общую формулу: V = ⅓Sоснh = ⅓πr²h. Значит, чтобы найти объём такого конуса, нужны радиус основания и перпендикулярная высота, а не длина боковой образующей.
Из общей формулы можно выразить неизвестную величину: если известны V и Sосн, то h = 3V/Sосн; если известны V и h, то Sосн = 3V/h. Для кругового конуса из V = ⅓πr²h следует r = √(3V/(πh)), причём выбирают положительный корень, так как радиус — длина. Все длины перед вычислением приводят к одним единицам, площадь записывают в квадратных, а объём — в кубических единицах.
| Величина | Формула | Что обозначают символы |
|---|---|---|
| Объём конуса через площадь основания | V = ⅓Sоснh | V — объём, Sосн — площадь основания, h — высота |
| Объём прямого кругового конуса | V = ⅓πr²h | r — радиус основания, h — высота, π — число пи |
| Площадь основания прямого кругового конуса | Sосн = πr² | Sосн — площадь круга, r — его радиус |
| Высота через объём и площадь основания | h = 3V/Sосн | h — высота, V — объём, Sосн — площадь основания |
Сначала выберите строку, которая соответствует известным и искомым величинам, затем проверьте, подходит ли формула к форме основания. Для кругового конуса радиус сначала превращают в площадь круга; в общей формуле используют уже площадь основания. Перед вычислениями согласуйте единицы измерения.
Известны радиус и высота, поэтому используем формулу кругового конуса V = ⅓πr²h. Важно сначала возвести в квадрат именно радиус, чтобы получить площадь основания, а затем умножить её на высоту и на ⅓. Все данные уже заданы в сантиметрах, поэтому результат будет в кубических сантиметрах.
Ответ: 24π см³.
Величины относятся к прямому круговому конусу, поэтому применим V = ⅓πr²h. Неизвестна высота, и удобнее выразить её заранее: h = 3V/(πr²). После подстановки π сократится, потому что он содержится и в объёме, и в площади круглого основания.
Ответ: 4 см.
Здесь известны объём и высота, а найти нужно радиус. В формуле V = ⅓πr²h сначала выразим r², а затем извлечём корень. Радиус не может быть отрицательным, поэтому из двух возможных корней выбирается положительный.
Ответ: 5 см.
Подставляют в формулу образующую вместо высоты. Это происходит потому, что образующая заметна на боковой поверхности и её легко принять за расстояние до основания. Проверьте, перпендикулярен ли отрезок плоскости основания: в формулу входит именно такое расстояние от вершины.
Забывают множитель ⅓ и получают объём цилиндра с теми же основанием и высотой. Ошибка возникает, когда вспоминают только произведение площади на высоту. Для проверки сравните конус с цилиндром: при одинаковых основании и высоте объём конуса должен быть втрое меньше.
Подставляют радиус вместо площади основания. Радиус — длина, а формула V = ⅓Sоснh требует площадь; для круглого основания её нужно сначала вычислить как πr². Проверьте размерность: после подстановки площади в квадратных единицах и высоты в линейных должны получиться кубические единицы.
Не согласуют единицы или записывают объём в квадратных единицах. Обычно это случается, если радиус и высота даны в разных единицах либо забывают, что объём складывается из трёх измерений. Перед вычислением переведите длины к одной единице, а ответ запишите, например, в см³ или м³.
Для вычисления объёма кругового конуса нужна формула площади круга πr², а также умение отличать высоту от образующей. Обоснование формулы опирается на объём пирамиды и принцип Кавальери — сравнение тел по площадям сечений. Эти знания помогают находить объёмы других тел вращения и составных тел, которые можно разбить на конусы и другие простые фигуры.
Почему в формуле объёма конуса появляется множитель 1/3?
Конус с данным основанием и высотой имеет такой же объём, как пирамида с теми же площадью основания и высотой. По принципу Кавальери их параллельные основанию сечения на одинаковом расстоянии от вершины имеют равные площади. Объём пирамиды, а значит и конуса, равен трети произведения площади основания на высоту.
Как найти объём конуса, если известны радиус основания и высота?
Сначала найдите площадь круглого основания: Sосн = πr². Затем подставьте её и высоту в формулу V = ⅓Sоснh, то есть V = ⅓πr²h. Убедитесь, что радиус и высота выражены в одинаковых единицах.
Можно ли подставлять в формулу образующую вместо высоты?
Нет: в формуле объёма используется высота — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Образующая идёт по боковой поверхности от вершины к окружности основания и обычно длиннее высоты. Подставлять её вместо высоты можно только в том случае, если по условию она действительно совпадает с высотой.
Как найти высоту или радиус конуса по его объёму?
Если известны площадь основания, то высоту находят из V = ⅓Sоснh: h = 3V/Sосн. Для кругового конуса при известных объёме и высоте используют r = √(3V/(πh)). Полученное значение радиуса берут положительным, а единицы всех величин предварительно согласуют.
В каких единицах нужно записывать объём конуса?
Объём выражают в кубических единицах: например, см³, м³ или мм³. Если длины измерены в сантиметрах, результат будет в кубических сантиметрах. Квадратные единицы относятся к площади, а не к объёму.
30.2. Объем конуса
