"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Объём конуса показывает, сколько места занимает это тело, и зависит от площади его основания и высоты. Главная формула — V = ⅓Sh: объём конуса равен трети объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой. Для кругового конуса площадь основания равна πr², поэтому V = ⅓πr²h. Разобравшись, какую высоту брать и как получить нужные размеры из условия, можно уверенно решать задачи на объём.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, у которого есть круглое основание и одна вершина вне плоскости основания. При вычислении объёма важны площадь основания S и расстояние от вершины до его плоскости. Именно эти части задают размеры конуса в формуле, а наклонные боковые отрезки напрямую в неё не входят.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; его длину обычно обозначают h. Перпендикуляр показывает, насколько далеко вершина расположена от плоскости основания. Поэтому высота нужна для определения объёма, а не длина наклонной боковой стороны.
Объём конуса — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую конусом. Его обозначают V и выражают в кубических единицах, например в см³. Чтобы вычислить V, нужно знать площадь основания и высоту тела.
Объём цилиндра — величина, характеризующая пространство внутри цилиндра; при сравнении с конусом берут цилиндр с таким же основанием и такой же высотой. Объём такого цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Сравнение этих двух объёмов помогает понять, откуда в формуле конуса появляется множитель ⅓.
Площадь основания и высота определяют, насколько широкое и насколько высокое пространство занимает конус. При фиксированной высоте увеличение площади основания расширяет тело, а при фиксированном основании увеличение высоты делает его выше. Длина образующей — наклонного отрезка от вершины к окружности основания — не задаёт расстояние до плоскости основания: при одной и той же образующей высота может меняться вместе с наклоном боковой стороны. Поэтому в формулу входит именно перпендикулярная высота, а не образующая.
Чтобы увидеть связь с цилиндром, сравним тела с совпадающими основаниями и одинаковой высотой. В цилиндре поперечное сечение на любой высоте имеет ту же площадь, что и основание, а у конуса сечения становятся меньше по мере приближения к вершине. В результате конус занимает треть объёма такого цилиндра. Это не означает, что конус занимает треть любого цилиндра: сравнивать нужно только тела с одинаковыми основанием и высотой.
Объём цилиндра с площадью основания S и высотой h вычисляется как S умножить на h. Поскольку объём конуса при тех же размерах составляет треть цилиндрического объёма, произведение Sh нужно разделить на три. Получается формула V = ⅓Sh. Здесь S — площадь именно основания конуса, а h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания.
У кругового конуса основание является кругом, поэтому его площадь выражается через радиус: S = πr². Подставляя это выражение вместо S в формулу V = ⅓Sh, получаем V = ⅓πr²h. Радиус r измеряют от центра круга до его края, а h — от вершины перпендикулярно плоскости основания. В обе формулы длины следует подставлять в одинаковых единицах.
Если в условии даны не площадь и высота, сначала найдите недостающие величины. При известном диаметре d радиус равен d/2, а если дана образующая l и радиус r, высоту можно вычислить по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). Когда требуется найти высоту по объёму, из V = ⅓Sh получают h = 3V/S; при известном объёме кругового конуса радиус находится из r² = 3V/(πh). Радиус выбирают положительным, поскольку он обозначает длину.
| Что требуется найти | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Объём конуса через площадь основания и высоту | V = ⅓Sh | S — площадь основания, h — высота |
| Объём кругового конуса через радиус основания и высоту | V = ⅓πr²h | r — радиус основания, h — высота |
| Высота через объём и площадь основания | h = 3V/S | V — объём, S — площадь основания |
| Радиус основания через объём и высоту | r = √(3V/(πh)) | V — объём, h — высота |
Сначала определите, что требуется найти, и выберите соответствующую строку таблицы. Проверьте, какие величины уже даны и совпадают ли единицы измерения. Если требуется радиус, а дан диаметр, прежде нужно разделить его на два.
Задача 1. Найти объём конуса, если площадь его основания равна 18 см², а высота — 5 см. Здесь площадь основания уже дана, поэтому отдельно вычислять её не требуется. Достаточно подставить два известных значения в формулу V = ⅓Sh.
Ответ: 30 см³. Единица получилась кубической, потому что площадь в см² умножалась на длину в см.
Задача 2. Найти объём кругового конуса с радиусом основания 3 см и высотой 8 см. Поскольку основание круглое, его площадь зависит от радиуса и равна πr². После нахождения площади используем формулу объёма конуса; удобно сразу подставить радиус в неё.
Ответ: 24π см³. Приближённо это около 75,4 см³, если принять π ≈ 3,14.
Задача 3. Объём кругового конуса равен 48π см³, а высота — 4 см. Найти радиус основания. Здесь неизвестен радиус, поэтому подставим известные объём и высоту в формулу V = ⅓πr²h и сначала найдём r². Так мы избегаем извлечения корня до того, как упростим выражение.
Ответ: 6 см. Проверка: ⅓π · 6² · 4 = 48π см³, как и дано в условии.
Подставляют образующую вместо высоты. Это происходит, потому что образующая тоже соединяет вершину с боковой поверхностью, но она наклонена к основанию. Проверьте себя: нужный отрезок должен образовывать прямой угол с плоскостью основания.
Забывают множитель ⅓. Часто запоминают произведение площади основания на высоту по формуле цилиндра и переносят его на конус. Сверьте запись с формулой V = ⅓Sh или проверьте, что при одинаковых основании и высоте ответ для конуса втрое меньше объёма цилиндра.
Путают радиус и диаметр основания. Если подставить диаметр вместо радиуса, площадь круга окажется в четыре раза больше нужной. Перед вычислением проверьте условие: когда дан диаметр d, найдите r = d/2 и только затем возводите радиус в квадрат.
Записывают объём в квадратных единицах. Ошибка возникает, когда забывают, что площадь основания умножается на высоту. Проверьте размерность: см² · см = см³, поэтому для объёма нужны кубические, а не квадратные единицы.
Для формулы объёма конуса нужны формула площади круга и формула объёма цилиндра, а также понимание, что высота тела перпендикулярна основанию. Сравнение с цилиндром объясняет коэффициент ⅓ в формуле конуса. Тема связана и с общей формулой объёма пирамиды: в обоих случаях объём равен трети произведения площади основания на высоту. Эти знания пригодятся при вычислении объёмов составных тел и решении стереометрических задач.
Почему объём конуса равен одной трети объёма цилиндра?
Если у конуса и цилиндра одинаковые основание и высота, объём конуса составляет треть объёма цилиндра. Это соотношение следует из сравнения объёмов тел и позволяет получить формулу конуса из формулы цилиндра.
Какую высоту нужно подставлять в формулу объёма конуса?
Нужно подставлять перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Наклонная образующая высотой не является, даже если она указана в условии.
Как найти объём конуса, если известен диаметр основания?
Сначала разделите диаметр на два, чтобы получить радиус r. Затем вычислите объём по формуле V = ⅓πr²h, подставив высоту конуса.
Можно ли найти объём конуса по образующей и радиусу?
Да, если конус круговой и известны его образующая l и радиус основания r, сначала можно найти высоту: h = √(l² − r²). Затем эту высоту подставляют в формулу V = ⅓πr²h.
В каких единицах записывают объём конуса?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³, м³ или мм³. Если размеры заданы в сантиметрах, результат выражают в кубических сантиметрах.
74. Объем конуса
