73. Объем цилиндра

Определения и обозначения

Объём цилиндра — величина, характеризующая, сколько места занимает цилиндр. Для призмы объём находят умножением площади основания на высоту, и для цилиндра действует такая же связь. Она позволяет перейти от размеров основания и расстояния между основаниями к вместимости всего тела.

Площадь основания цилиндра — площадь круга, ограничивающего одно из его оснований; её обозначают S. Основания цилиндра равны, поэтому площадь любого из них одна и та же. Эта величина показывает, какую площадь занимает поперечное сечение цилиндра у основания.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований; обозначение — h. Это расстояние измеряют по перпендикуляру к основаниям, а не вдоль наклонной боковой поверхности. Высота нужна, чтобы учесть протяжённость тела от одного основания до другого.

Радиус основания цилиндра — радиус круга-основания, обозначаемый r. Он равен расстоянию от центра основания до любой точки его окружности. Радиус нужен для вычисления площади основания по формуле круга S = πr².

Как это устроено

Связь объёма цилиндра с объёмом призмы можно объяснить приближением. Внутри цилиндра мысленно размещают призму, основание которой — многоугольник, вписанный в круг; снаружи строят призму с многоугольником, описанным около круга. Объём цилиндра оказывается между объёмами этих призм. Такой способ помогает оценить объём, не разрезая тело на отдельные части.

Если увеличивать число сторон многоугольников, вписанная фигура всё плотнее заполняет круг, а описанная всё меньше выступает за его границу. Поэтому площади обоих многоугольников всё ближе к площади основания цилиндра. При одинаковой высоте призмы их объёмы равны площади основания, умноженной на высоту, и по мере приближения оснований приближаются к объёму цилиндра. Чем точнее многоугольники повторяют круг, тем точнее такое приближение.

Именно поэтому объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = Sh. У призмы с постоянным многоугольным основанием площадь каждого сечения, параллельного основанию, одна и та же; при переходе к цилиндру эту роль выполняют круги. В результате площадь основания задаёт размер поперечного сечения, а высота — протяжённость тела. Их произведение даёт объём.

Основание цилиндра — круг, площадь которого выражается формулой S = πr², где π — число пи, а r — радиус. Подставляя эту площадь вместо S в формулу V = Sh, получаем V = πr²h. Радиус в этой формуле возводится в квадрат, а затем результат умножается на высоту. Поэтому, если в условии дан диаметр, его сначала нужно разделить на два.

Формула применима как к прямому, так и к наклонному цилиндру. При наклоне меняется положение боковой поверхности, но если площадь основания и перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований остаются прежними, объём не меняется. Это можно представить как сдвиг слоёв тела: они смещаются, но не меняют ни площади поперечного сечения, ни высоты. В формулу поэтому не подставляют длину образующей вместо высоты.

Элементы цилиндра и формулы для вычисления его объёма

В таблице собраны обозначения величин и связи, которые используются при вычислении объёма. Сначала определите, какие данные известны в задаче, а затем выберите подходящую формулу. Если известен диаметр, перед вычислением переведите его в радиус.

Разбор задач

Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите его объём. Даны радиус и высота, поэтому можно сразу применить формулу объёма через радиус либо сначала найти площадь основания.

1. Площадь основания: S = πr² = π · 3² = 9π см².
2. Умножаем площадь основания на высоту: V = Sh = 9π · 5 = 45π см³.
3. Проверяем единицы: площадь измерялась в см², а умножение на высоту в сантиметрах даёт см³.

Ответ: 45π см³.

Задача 2. Объём цилиндра равен 200π см³, а радиус основания — 5 см. Найдите высоту. Здесь неизвестна высота, поэтому выразим её из формулы V = πr²h, разделив обе части равенства на πr². Сокращение π удобно выполнить до вычислений.

1. Записываем выражение для высоты: h = V / (πr²).
2. Подставляем данные: h = 200π / (π · 5²) = 200π / 25π = 8.
3. Объём задан в см³, а площадь основания — в см², поэтому результат имеет размерность см³ / см² = см.

Ответ: 8 см.

Задача 3. Цилиндрический бак радиусом 0,4 м и высотой 1,5 м заполнен водой на три пятых объёма. Сколько кубических метров воды в баке? Сначала найдём объём всего бака, а затем возьмём от него указанную долю. Все длины уже выражены в метрах, значит ответ получится в м³.

1. Находим полный объём: V = πr²h = π · 0,4² · 1,5 = π · 0,16 · 1,5 = 0,24π м³.
2. Вычисляем три пятых полного объёма: Vводы = ⅗ · 0,24π = 0,144π м³.
3. Приближённо оцениваем результат: 0,144π ≈ 0,452, то есть воды около 0,452 м³.

Ответ: 0,144π м³, или приблизительно 0,452 м³.

Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса. Ошибка возникает, когда в условии дан диаметр и его без изменений ставят в πr²h. Поскольку радиус равен половине диаметра, такая подстановка завышает результат в четыре раза. Перед расчётом подпишите величину r и, если требуется, найдите её как d / 2.

Использование длины окружности вместо площади основания. Длина окружности равна 2πr, а в формуле объёма требуется площадь круга πr². Их путают, потому что обе величины относятся к круглому основанию. Проверьте размерность: в формуле V = Sh величина S должна измеряться в квадратных единицах.

Подмена высоты образующей или наклонной высотой. На наклонном цилиндре отрезок боковой поверхности может выглядеть как расстояние между основаниями, но высота — именно перпендикулярное расстояние между плоскостями. Такую ошибку допускают, ориентируясь на наклонную боковую линию. Проверьте, какой отрезок перпендикулярен основаниям, и используйте его длину.

Ответ в квадратных единицах. Площадь основания измеряется в см² или м², но объём получается после умножения этой площади на длину. Если записать см², значит, не учтена размерность высоты. Итог должен быть в кубических единицах, например см³ или м³.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма цилиндра нужно знать формулу площади круга и различать радиус и диаметр. Также необходимо понимать, что высота тела — это расстояние между параллельными плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру. Та же идея произведения площади основания на высоту помогает работать с объёмами других тел, в частности конуса, а формула цилиндра применяется в задачах о составных телах и вместимости сосудов.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
• Для круглого основания S = πr².
• Формула объёма цилиндра: V = πr²h.
• В формулу подставляют радиус основания, а не диаметр.
• Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований.
• Объём выражают в кубических единицах.