77. Объем цилиндра

Определения и обозначения

Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов можно уложить внутри тела. Единичный куб имеет ребро, равное выбранной единице длины, например 1 см, поэтому объём измеряют в кубических единицах: см³, м³ и других. Это определение помогает представить объём как заполнение пространства, а не как длину или площадь.

Цилиндр — тело, ограниченное боковой цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами. Эти круги называют основаниями цилиндра. Основания задают его форму и площадь, поэтому при вычислениях сначала выясняют, какой круг лежит в основании и какие его размеры известны.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. У прямого цилиндра высота равна длине образующей — отрезка боковой поверхности, параллельного оси цилиндра. Высоту обозначают h; именно она показывает, насколько далеко друг от друга расположены основания.

Объём цилиндра — величина, численно равная объёму занимаемой им части пространства. Обычно его обозначают V и находят по размерам основания и высоте. Это позволяет сравнивать вместимость цилиндрических сосудов и вычислять, сколько места занимает цилиндрическое тело.

Как это устроено

Представь, что цилиндр составлен из тонких слоёв, параллельных основаниям. Каждый слой имеет ту же форму и площадь, что и основание, а увеличение высоты добавляет такие слои. Если высоту увеличить, например, в три раза, слоёв при одинаковой толщине станет втрое больше, поэтому объём тоже вырастет втрое. Так становится понятно, почему высота входит в формулу объёма как множитель.

Связь объёма цилиндра с объёмом призмы обосновывает принцип Кавальери. Он утверждает: если тела заключены между одними и теми же параллельными плоскостями, а их сечения на каждой одинаковой высоте равны по площади, то объёмы тел равны. У цилиндра сечение плоскостью, параллельной основанию, — равный ему круг. У призмы с таким же основанием параллельные сечения также равны основанию, поэтому на каждой высоте площади сечений совпадают.

У призмы объём находят умножением площади основания на высоту. По принципу Кавальери цилиндр с такой же площадью основания и той же высотой имеет тот же объём. Поэтому для цилиндра получается формула V = Sоснh, где Sосн — площадь основания, а h — расстояние между основаниями. Формула подходит и для цилиндра с некруглым основанием, если его объём рассматривают вместе с соответствующей призмой.

У кругового цилиндра основание — круг радиуса r, площадь которого равна πr². Подставляя эту площадь в общую формулу, получаем V = πr²h. В задаче важно определить именно радиус, а не диаметр: если дан диаметр d, перед подстановкой нужно вычислить r = d/2. Например, при размерах в сантиметрах площадь основания выражается в см², а её произведение на высоту — в см³; единицы можно проверить прямо по формуле.

Формулы объёма цилиндра

Выбирай строку по тем величинам, которые даны в условии. Если известна площадь основания, радиус находить не нужно; если дан диаметр, удобно либо сначала получить радиус, либо использовать последнюю формулу. Перед вычислением проверь, что высота и размеры основания выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Задача 1. Площадь основания цилиндра равна 12 см², высота — 5 см. Найдите объём. Здесь площадь основания уже известна, значит, не требуется отдельно искать радиус круга. Используем общую формулу V = Sоснh и следим, чтобы ответ был в кубических сантиметрах.

1. Запишем формулу объёма: V = Sоснh.
2. Подставим данные: V = 12 · 5 = 60.
3. Проверим единицы: см² · см = см³.

Ответ: 60 см³.

Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 8 см. Найдите объём. Радиус известен, поэтому сначала найдём площадь круглого основания по формуле πr². Затем умножим её на высоту; точное значение удобно оставить с π, чтобы не округлять ответ.

1. Площадь основания равна Sосн = πr² = π · 3² = 9π см².
2. Найдём объём: V = Sоснh = 9π · 8 = 72π.
3. Проверим размерность произведения: см² · см = см³.

Ответ: 72π см³.

Задача 3. Диаметр основания цилиндра равен 10 см, а объём — 200π см³. Найдите высоту. В формуле содержится радиус, поэтому нельзя сразу подставлять число 10 вместо r: сначала разделим диаметр пополам. После подстановки выразим высоту из равенства, так как именно её требуется найти.

1. Найдём радиус: r = d/2 = 10/2 = 5 см.
2. Запишем формулу: V = πr²h. Подставим данные: 200π = π · 5² · h = 25πh.
3. Разделим обе части равенства на 25π: h = 200π/(25π) = 8 см.

Ответ: 8 см.

Типичные ошибки

Иногда в формулу πr²h подставляют диаметр вместо радиуса. Так происходит, потому что в условии чаще заметен именно данный размер, а его половину забывают найти; в результате объём получается в четыре раза больше правильного. Проверь обозначение в формуле: под квадратом стоит r, поэтому при диаметре d сначала вычисли r = d/2.

Другая ошибка — записать только πr² и остановиться. Это площадь круглого основания, а не объём всего цилиндра, потому что в вычислении не учтена высота. Проверь себя: в формуле объёма должны участвовать и основание, и расстояние между основаниями. При умножении на h единицы площади превращаются в кубические единицы.

У наклонного цилиндра за высоту иногда принимают образующую. Эти отрезки совпадают у прямого цилиндра, поэтому их легко перепутать и в других случаях. Высота всегда измеряется перпендикулярно плоскостям оснований; перед подстановкой убедись, что используешь именно это расстояние.

Объём могут записать в квадратных единицах, например в см². Это обычно происходит, когда проверяют только единицы площади основания и забывают, что формула требует умножить её на высоту. Для самопроверки перемножь единицы: см² · см = см³. Если линейные размеры даны в сантиметрах, итоговая единица объёма — кубический сантиметр.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма кругового цилиндра нужно знать площадь круга и различать радиус с диаметром: радиус равен половине диаметра. Формула объёма опирается на понятие объёма тела и принцип Кавальери, связывающий объёмы тел с площадями их сечений. Позже формула пригодится в задачах на объёмы тел вращения и при сравнении объёмов разных тел. Например, с её помощью можно выяснить, как изменение радиуса или высоты влияет на вместимость цилиндрического сосуда.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.
• Для кругового цилиндра V = πr²h.
• В формуле r — радиус основания, а не его диаметр.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• Объём выражают в кубических единицах.
• При одинаковой площади основания объём цилиндра пропорционален его высоте.