"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Объём показывает, сколько места занимает пространственное тело. Для наклонной призмы он зависит от площади основания и перпендикулярного расстояния между основаниями, а для пирамиды и конуса — ещё и от множителя ⅓. Разобраться в формулах помогает принцип Кавальери: тела с равными высотами и одинаковыми площадями сечений на каждом уровне имеют равные объёмы. Главное при вычислениях — не спутать высоту с наклонным ребром или образующей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная призма — призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны плоскостям оснований. Её высота — расстояние между плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру. Поэтому высота не обязательно совпадает с боковым ребром. Это различие нужно, чтобы подставлять в формулу объёма именно расстояние, влияющее на вместимость призмы.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а высота боковой грани проводится внутри этой грани к её стороне. Эти отрезки могут иметь разные длины. Понятие высоты помогает правильно измерить расстояние от вершины до основания.
Объём наклонной призмы — величина, равная произведению площади основания на высоту призмы: V = Sоснh. Здесь Sосн — площадь основания, а h — расстояние между плоскостями оснований. Формула показывает, какой объём занимает тело. Она применима и к наклонной, и к прямой призме.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Буквы Sосн и h обозначают соответственно площадь основания и перпендикулярную высоту тела. Множитель ⅓ отличает их формулы от формулы призмы. Он учитывает, что пирамида или конус при той же площади основания и высоте занимают меньший объём.
У наклонной призмы объём определяется площадью основания и расстоянием между основаниями, а не длиной боковых рёбер. Чтобы увидеть причину, представим горизонтальные сечения — срезы плоскостями, параллельными основаниям. Каждое такое сечение призмы равно основанию по площади, даже если боковые рёбра наклонены. Поэтому наклон меняет форму боковой поверхности, но не количество пространства между равными основаниями.
Это рассуждение можно оформить с помощью принципа Кавальери. Он утверждает: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их сечений на каждом одинаковом уровне равны, то равны и их объёмы. Сравним наклонную призму с прямой призмой, у которой та же площадь основания и такая же высота. На любой высоте сечения обеих призм равны основаниям, следовательно, по принципу Кавальери объёмы призм одинаковы.
Множитель ⅓ в формуле пирамиды появляется при сравнении её с призмой равных основания и высоты. Объём такой призмы равен Sоснh, а объём пирамиды с теми же величинами — треть этой величины. Это соотношение также можно понять через разбиение призмы на три пирамиды равного объёма. Значит, формула пирамиды имеет вид V = ⅓Sоснh, а не V = Sоснh.
Для перехода от пирамиды к конусу используем тот же принцип Кавальери. Сравним конус с пирамидой равной высоты и с такой же площадью основания. На одном и том же расстоянии от вершины параллельные основанию сечения у этих тел подобны основаниям, а их линейные размеры уменьшаются в одинаковое число раз. Поэтому площади соответствующих сечений равны, и объёмы конуса и пирамиды тоже равны: V = ⅓Sоснh.
В формулах важно выбрать именно нужную высоту, потому что объём измеряется по направлению, перпендикулярному основанию. У наклонной призмы это расстояние между плоскостями оснований, у пирамиды и конуса — перпендикуляр от вершины до плоскости основания. Наклонное боковое ребро или образующая идут по наклонной линии и не показывают эту высоту. Если даны только такие длины, для нахождения высоты потребуются дополнительные сведения, например угол или прямоугольный треугольник.
| Тело | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Наклонная призма | Sосн | Расстояние между плоскостями оснований | V = Sоснh |
| Пирамида | Sосн | Перпендикуляр от вершины к основанию | V = ⅓Sоснh |
| Конус | πr² | Перпендикуляр от вершины к основанию | V = ⅓πr²h |
Сначала определите площадь основания и отдельно найдите перпендикулярную высоту тела. Затем выберите формулу по типу фигуры: у призмы нет множителя ⅓, а у пирамиды и конуса он есть. Следите за единицами: если площадь дана в см², а высота — в см, объём получится в см³.
Задача 1. Основание наклонной призмы имеет площадь 24 см², расстояние между плоскостями оснований равно 5 см. Найдите объём призмы.
Ответ: 120 см³.
Задача 2. Площадь основания пирамиды равна 45 см², высота — 8 см. Найдите объём пирамиды.
Ответ: 120 см³.
Задача 3. Объём конуса равен 72π см³, а радиус основания — 3 см. Найдите высоту конуса.
Ответ: 24 см.
Для наклонной призмы иногда берут за высоту боковое ребро. Это кажется естественным, потому что ребро соединяет основания, но оно наклонено, а формуле нужно перпендикулярное расстояние между плоскостями. Проверьте себя: высота должна образовывать прямой угол с плоскостью основания.
У пирамиды или конуса высоту путают с боковым ребром либо образующей. Эти отрезки лежат на наклонной стороне тела, поэтому обычно длиннее перпендикуляра к основанию. Нарисуйте прямоугольный треугольник или отметьте прямой угол у основания высоты. В формулу объёма подставляйте только перпендикуляр.
Ещё одна ошибка — забыть множитель ⅓ в формуле объёма пирамиды или конуса. Так происходит, когда формулу призмы переносят на все тела с основанием и высотой. Сверьте тип тела с таблицей: для призмы V = Sоснh, для пирамиды и конуса V = ⅓Sоснh.
Площадь основания могут заменить периметром, а площадь круглого основания вычислить без квадрата радиуса. Периметр измеряет длину границы и не подходит вместо площади в формуле объёма. Проверьте обозначения и единицы: площадь должна быть в квадратных единицах, а для конуса используйте Sосн = πr², а не πr.
Чтобы найти объём, сначала нужно уметь вычислять площади оснований: многоугольников и круга. Также пригодится умение находить расстояние от точки до плоскости, поскольку высота наклонного тела является перпендикулярным расстоянием. Если известны боковое ребро или образующая, высоту иногда находят с помощью теоремы Пифагора или тригонометрии.
Эти формулы используются при расчёте объёмов составных тел: их можно разбить на призмы, пирамиды и конусы, найти объём каждой части и сложить результаты. Те же идеи помогают изучать объёмы других пространственных фигур. Поэтому полезно сначала выяснить, из каких тел состоит фигура и где проходят их основания и высоты.
Почему объём наклонной призмы не зависит от наклона её боковых рёбер?
При изменении наклона боковых рёбер площади сечений призмы плоскостями, параллельными основаниям, остаются равными площади основания. Если не меняются эта площадь и расстояние между основаниями, объём тоже остаётся прежним.
Как найти высоту наклонной призмы, если известно боковое ребро?
Нужно найти перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Если угол α между боковым ребром длины l и плоскостью основания известен, высота равна l · sin α. Без угла или других данных одной длины ребра недостаточно.
Почему объём пирамиды составляет треть объёма призмы с теми же основанием и высотой?
У призмы и пирамиды с равными основанием и высотой объёмы соотносятся как 3 : 1. Это можно обосновать, разбив подходящую призму на три пирамиды равного объёма; поэтому в формуле пирамиды появляется множитель ⅓.
Можно ли в формуле объёма конуса использовать образующую вместо высоты?
Нет. Высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания, а образующая идёт по боковой поверхности и обычно длиннее. Подстановка образующей вместо высоты даст неверный объём.
Как найти объём конуса, если известны радиус основания и образующая?
Сначала найдите высоту по теореме Пифагора: h = √(l² − r²), где l — образующая, r — радиус. Затем используйте формулу V = ⅓πr²h. Такая запись подходит для прямого конуса.
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса
