"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Объём показывает, сколько места занимает пространственное тело. Для наклонной призмы он зависит от площади основания и расстояния между плоскостями оснований, а для пирамиды и конуса — ещё и от коэффициента ⅓. Чтобы вычислить объём, нужно правильно определить площадь основания и перпендикулярную высоту: боковое ребро призмы и образующая конуса обычно для этого не подходят. Эти формулы помогают сравнивать тела и решать задачи о составных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём наклонной призмы — величина, равная произведению площади основания на высоту: V = Sоснh. Высота — это расстояние между плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру. Она может быть короче бокового ребра, поэтому подставлять длину ребра вместо h нельзя. Площадь основания и высота вместе определяют, сколько места занимает призма.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания и опускается на неё из вершины. Она может проходить внутри пирамиды или вне её основания, если пирамида наклонная. Именно перпендикулярная высота нужна для вычисления объёма.
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Основание конуса — круг, поэтому его площадь равна πr², где r — радиус. Высота — расстояние от вершины до плоскости основания, а не наклонный отрезок на боковой поверхности. Это различие помогает выбрать правильные величины в формуле.
Равновеликие тела — тела, объёмы которых равны. У них не обязательно совпадают форма, размеры или площадь поверхности. Например, призма и пирамида могут иметь одинаковый объём, если их параметры связаны нужным образом. Понятие равновеликости позволяет сравнивать тела без требования, чтобы они были одинаковыми.
Формула объёма наклонной призмы не содержит длины бокового ребра, потому что сдвиг верхнего основания в сторону не добавляет телу высоты. Наклонную призму можно мысленно сопоставить с прямой призмой, у которой то же основание и такое же расстояние между плоскостями оснований. При таком переходе форма боковых граней меняется, но объём сохраняется. Поэтому достаточно знать площадь основания и перпендикулярную высоту.
Равенство объёмов наклонной и прямой призм обосновывает принцип Кавальери. Он утверждает: если два тела заключены между параллельными плоскостями и на каждом уровне их сечения имеют равные площади, то объёмы тел равны. Параллельное основанию сечение любой призмы имеет площадь, равную площади основания. Значит, у призм с равными основаниями и высотами площади сечений на всех уровнях совпадают, хотя сами тела могут выглядеть по-разному.
Коэффициент ⅓ в формуле пирамиды появляется при сравнении её объёма с объёмом призмы. Идею можно увидеть на треугольной призме: диагональные сечения делят её на три пирамиды, которые имеют равные объёмы. У них одинаковые высоты и основания одинаковой площади, хотя основания расположены в разных гранях призмы. Следовательно, каждая такая пирамида занимает треть призмы, то есть V = ⅓Sоснh.
Конус можно приближать пирамидами, вписанными в него и описанными вокруг него. Если увеличивать число сторон многоугольников в основаниях этих пирамид, их основания всё точнее приближаются к кругу, а сами тела — к конусу. Объёмы таких пирамид вычисляются по формуле с коэффициентом ⅓. При всё более точном приближении получается формула объёма конуса V = ⅓Sоснh, где Sосн = πr².
В любой задаче сначала выясняют, что именно дано: площадь основания, линейные размеры основания, высота, боковое ребро или образующая. Если основание задано сторонами, сначала находят его площадь; затем определяют высоту как перпендикулярное расстояние. Длина бокового ребра наклонной призмы и образующая конуса идут под наклоном к основанию, поэтому сами по себе не являются высотой. Подставлять их в формулу можно лишь после того, как по условиям найдена перпендикулярная высота.
| Тело | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Наклонная призма | Sосн | Расстояние между плоскостями оснований | V = Sоснh |
| Пирамида | Sосн | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | V = ⅓Sоснh |
| Конус | πr² | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | V = ⅓πr²h |
Сначала найдите площадь основания и перпендикулярную высоту, а затем выберите строку для нужного тела. В таблице h везде обозначает высоту, а не боковое ребро или образующую. Ответ записывайте в кубических единицах.
Задача 1. Основание наклонной призмы имеет площадь 18 см², а расстояние между плоскостями оснований равно 7 см. Найдите объём призмы. Здесь площадь и нужная высота даны сразу, причём 7 см — именно перпендикулярное расстояние. Поэтому достаточно применить формулу для призмы и проверить единицы ответа.
Ответ: 126 см³.
Задача 2. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, высота равна 9 см. Чтобы найти объём, сначала нужно определить площадь прямоугольного основания. Затем эту площадь умножают на высоту и берут треть результата, поскольку речь идёт о пирамиде.
Ответ: 144 см³.
Задача 3. Радиус основания конуса равен 5 см, образующая — 13 см. Высота не дана, поэтому сначала нужно найти её, а не подставлять в формулу образующую. Радиус и высота образуют катеты прямоугольного треугольника, а образующая является гипотенузой.
Ответ: 100π см³.
При вычислении объёма наклонной призмы иногда вместо высоты берут длину бокового ребра. Так происходит, потому что ребро соединяет основания и кажется подходящим размером, но при наклоне оно длиннее перпендикулярного расстояния. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол с плоскостями оснований. В формуле нужна именно высота между этими плоскостями.
В формулах пирамиды и конуса иногда забывают множитель ⅓ и получают произведение площади основания на высоту. Это случается, если запомнить только общий вид произведения Sоснh. Перед вычислением проверьте, к какому телу относится формула: для призмы множителя нет, а для пирамиды и конуса он обязателен. Можно также сравнить результат с объёмом призмы с теми же основанием и высотой: он должен быть втрое больше.
Образующую конуса принимают за его высоту, поскольку обе величины выходят из вершины. Но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена к ней и лежит на боковой поверхности. Для проверки представьте прямоугольный треугольник с катетами r и h и гипотенузой l. Если дана l, сначала найдите h по теореме Пифагора.
Ещё одна ошибка — подмена площади основания его линейным размером или неверное вычисление площади круга. Например, для круга используют πr вместо πr², забывая возвести радиус в квадрат. Проверяйте размерность: площадь основания должна выражаться в квадратных единицах, а после умножения на высоту объём — в кубических. Если в ответе остались сантиметры в квадрате, вычисления не закончены.
Для применения формул объёма нужно уметь находить площади многоугольников и круга. Также необходимо различать перпендикулярную высоту тела, боковое ребро призмы и образующую конуса: эти отрезки могут иметь разные длины. Если высота прямо не дана, её иногда приходится находить по теореме Пифагора или другим известным свойствам фигур.
Формулы пригодятся в задачах на составные тела, которые можно разделить на призмы, пирамиды и конусы или дополнить ими до более простых фигур. Тот же подход — найти площадь сечения, основание и перпендикулярный размер — встречается при изучении объёмов других пространственных тел. Умение сопоставлять объёмы помогает проверять ответы и выбирать удобный способ вычисления.
Почему наклонная призма имеет такой же объём, как прямая с теми же основанием и высотой?
По принципу Кавальери тела равны по объёму, если на каждом уровне их сечения имеют одинаковые площади. У наклонной и прямой призм с равными основаниями и высотами такие сечения равны площади основания. Поэтому наклон боковых рёбер не меняет объём.
Как определить высоту наклонной призмы, если известны её боковые рёбра?
Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а не длина бокового ребра. Если известны боковые рёбра, дополнительно нужны сведения об их наклоне или о геометрии призмы, чтобы найти перпендикулярную составляющую. По одной длине бокового ребра высоту определить нельзя.
Почему в формулах объёма пирамиды и конуса появляется коэффициент одна треть?
Пирамида занимает треть объёма призмы с таким же основанием и высотой. Для конуса тот же результат получается как предел объёмов приближающих его пирамид. Поэтому в обеих формулах произведение площади основания на высоту умножают на ⅓.
Можно ли подставить образующую конуса вместо его высоты?
Нет, если задача не описывает частный случай, в котором они случайно равны. Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая идёт по наклонной боковой поверхности от вершины к окружности основания. Для объёма нужна именно высота.
Как найти объём конуса, если известны только радиус основания и образующая?
Радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: образующая — гипотенуза. Сначала находят высоту по теореме Пифагора: h = √(l² − r²), где l — образующая. Затем вычисляют V = ⅓πr²h.
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса
