"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Объём тела можно найти, если представить его состоящим из очень тонких слоёв. Площадь каждого поперечного сечения зависит от координаты, а толщина слоя задаётся малым изменением этой координаты. Интеграл складывает объёмы всех слоёв от одной границы тела до другой. Метод подходит не только для цилиндров и других тел с постоянным сечением: с его помощью вычисляют объёмы конусов, шаров и тел с более сложной формой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поперечное сечение тела — фигура, полученная при пересечении тела плоскостью; в этой теме плоскость перпендикулярна выбранной оси. При перемещении плоскости форма и площадь сечения могут меняться. Поэтому для вычисления объёма нужно следить, как сечение зависит от его положения.
Площадь сечения S(x) — площадь фигуры, которую образует тело с плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку с координатой x. Запись S(x) подчёркивает, что площадь может быть разной в разных местах. Эта функция позволяет описать форму тела численно и использовать интеграл.
Интегральная сумма — сумма приближённых объёмов тонких слоёв тела. Каждый такой объём оценивают как площадь сечения, умноженную на толщину слоя. Чем тоньше слои, тем точнее сумма описывает всё тело; её предел и используют для вычисления объёма.
Объём тела, площади поперечных сечений которого заданы функцией S(x), вычисляется по формуле V = ∫ₐᵇ S(x) dx. Здесь a и b — координаты крайних точек тела вдоль выбранной оси. Формула нужна, чтобы объединить площади всех сечений в одно значение объёма.
Сначала выбирают ось и направление, вдоль которого удобно просматривать тело. Плоскости, перпендикулярные этой оси, разрезают его на поперечные сечения, а крайние координаты тела становятся пределами интегрирования. Удачный выбор оси упрощает форму сечений, а значит — и выражение их площади.
На небольшом отрезке оси координата меняется совсем немного, поэтому слой тела можно считать тонким. Если площадь сечения около точки x равна S(x), а толщина слоя равна Δx, то его объём приблизительно равен S(x)Δx. Это похоже на объём призмы: площадь основания умножается на высоту; для тонкого слоя такая оценка становится всё точнее.
Разделив тело на несколько слоёв, получают сумму S(x₁)Δx₁ + S(x₂)Δx₂ + … . Такая интегральная сумма складывает приближённые объёмы, но её точность зависит от толщины слоёв. Если разбивать тело всё мельче и точнее учитывать площадь каждого сечения, сумма стремится к настоящему объёму, то есть к пределу интегральных сумм.
Площадь сечения сначала выражают через координату: получают функцию S(x). Затем находят определённый интеграл этой функции между крайними координатами тела. Интеграл суммирует бесконечно тонкие слои по всей длине тела, поэтому результатом становится объём, а не площадь.
Например, у шара радиуса R проведём ось через центр и обозначим координату сечения через x. Радиус сечения вместе с x и радиусом шара образует прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора r² = R² − x². Площадь круга равна S(x) = π(R² − x²), а координата меняется от −R до R; интегрирование даёт V = 4πR³/3.
| Тело или способ задания | Площадь поперечного сечения S(x) | Пределы интегрирования | Интеграл для объёма |
|---|---|---|---|
| Тело с известной функцией площади сечения | S(x) | a ≤ x ≤ b | V = ∫ₐᵇ S(x) dx |
| Прямоугольный слой постоянной площади | S(x) = S₀ | a ≤ x ≤ b | V = ∫ₐᵇ S₀ dx = S₀(b − a) |
| Конус, сечения параллельны основанию | π(Rx/h)², если x отсчитывают от вершины | 0 ≤ x ≤ h | V = ∫₀ʰ πR²x²/h² dx = πR²h/3 |
| Шар, сечения перпендикулярны оси через центр | π(R² − x²) | −R ≤ x ≤ R | V = ∫₋Rᴿ π(R² − x²) dx = 4πR³/3 |
В таблице сначала найдите строку, соответствующую телу, и уточните, откуда отсчитывается координата. Затем подставьте площадь сечения и пределы в формулу объёма. Если площадь меняется по-разному на разных участках, используйте отдельные интегралы для этих участков.
Условие. Тело ограничено плоскостями x = 0 и x = 3; площадь сечения, перпендикулярного оси Ox, равна S(x) = 2x + 1. Найдите объём тела. Поскольку функция задаёт площадь на всём отрезке от 0 до 3, именно эти числа будут пределами интегрирования.
Ответ: 12 кубических единиц. Здесь интеграл суммирует объёмы слоёв, а не сами площади сечений. Проверка размерности подтверждает результат: площадь умножается на длину, поэтому получается кубическая единица.
Условие. Найдите объём конуса высоты h и радиуса основания R, рассматривая сечения плоскостями, параллельными основанию. Возьмём ось от вершины к основанию и обозначим через x расстояние сечения от вершины. При x = 0 радиус равен нулю, а при x = h он равен R.
Ответ: V = πR²h/3. Радиус сечения возрастает от вершины к основанию, поэтому площадь не постоянна. Если бы подставить во все слои площадь основания, объём оказался бы завышен.
Условие. Найдите объём шара радиуса R с помощью сечений плоскостями, перпендикулярными оси через центр. Пусть x — координата плоскости на этой оси. Крайние точки шара имеют координаты −R и R, поэтому интеграл должен охватить обе половины тела.
Ответ: V = 4πR³/3. Радиус сечения убывает от экватора к краям, что учтено в функции S(x). Симметрия позволяет также вычислить интеграл от 0 до R и умножить результат на 2.
В интеграл иногда подставляют радиус сечения или длину его границы вместо площади. Так происходит, когда забывают, что приближённый объём слоя равен площади, умноженной на толщину. Проверьте себя: подынтегральная функция должна иметь размерность площади, чтобы после умножения на длину получился объём.
Другая ошибка — складывать площади сечений, не умножая каждую на толщину слоя. Сумма площадей не измеряет объём: у неё нет множителя, который учитывает длину тела. Представьте один слой как призму и запишите его объём S(x)Δx, а затем переходите к интегральной сумме.
Пределы интегрирования могут не совпадать с крайними координатами тела, если их выбирают по основанию или вершине без учёта направления оси. Такая ошибка обрезает часть тела или добавляет лишний участок. До вычислений отметьте, в каком промежутке координата x проходит через тело, и проверьте, что границы соответствуют началу и концу этого пути.
При вычислении объёма шара иногда интегрируют только от 0 до R и забывают учесть вторую половину. Это допустимо лишь потому, что площади сечений симметричны относительно центра, и результат нужно удвоить. Проверьте пределы: интеграл от −R до R уже охватывает весь шар, а интеграл от 0 до R — только половину.
Для работы с методом нужны знания об определённом интеграле как пределе интегральных сумм и умение вычислять простые интегралы. Также понадобятся формулы площадей плоских фигур, свойства круга и теорема Пифагора: с их помощью находят S(x). В задачах о конусах полезно подобие треугольников, позволяющее выразить размеры сечения через координату. Метод применяется к телам вращения и связывает геометрию с математическим анализом и физикой.
Почему для вычисления объёма нужно интегрировать площадь сечения?
Тонкий слой тела можно приближённо считать призматическим, поэтому его объём равен площади сечения, умноженной на толщину. Интеграл складывает объёмы таких слоёв при стремлении их толщины к нулю.
Как выбрать ось и пределы интегрирования?
Выберите ось так, чтобы сечения были удобными для вычисления и их площадь можно было выразить через координату. Пределы — это крайние координаты тела вдоль выбранной оси.
Как найти площадь сечения, если тело не является цилиндром?
Сначала определите форму сечения, затем выразите её размеры через координату. Например, для круглого сечения найдите радиус по геометрическим соотношениям и используйте площадь πr².
Почему в формуле объёма шара появляются пределы от −R до R?
Если ось проходит через центр шара, координата меняется от −R на одном краю до R на другом. Поэтому нужно учесть сечения по всей длине шара.
Можно ли вычислять объём, если площадь сечения задаётся кусочной функцией?
Да. Интегрируйте каждую формулу на своём промежутке и сложите полученные значения. В точках, где формула меняется, отрезок интегрирования разделяют.
78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла
