З0.1. Объем цилиндра

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными параллельными кругами. В этой теме рассматривается прямой круговой цилиндр: его основания — круги, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, перпендикулярны их плоскостям. Такое уточнение важно, потому что для прямого цилиндра удобно выражать площадь основания через радиус, а высота совпадает с образующей.

Основание цилиндра — каждый из двух равных кругов, ограничивающих тело. Площадь основания обозначают буквой S. Это обозначение позволяет записать формулу объёма кратко, не подставляя каждый раз площадь круга в виде отдельного выражения.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований; её обозначают буквой h. Это именно перпендикулярное расстояние, а не произвольный отрезок между основаниями. Высота нужна, чтобы учитывать, насколько далеко тело продолжается от одного основания до другого.

Объём цилиндра — величина, характеризующая пространство, занимаемое цилиндром. Его вычисляют по площади основания и высоте, поскольку эти величины описывают размер поперечного сечения и протяжённость тела. Объём обозначают буквой V и выражают в кубических единицах.

Как это устроено

Представим цилиндр, пересечённый плоскостью, параллельной основаниям. Такое сечение получается кругом, равным основанию: при движении от одного основания к другому форма и размер сечения не меняются. Это происходит потому, что боковая поверхность цилиндра образована параллельными прямыми, а основания равны и лежат в параллельных плоскостях. Значит, площадь поперечного сечения на любой высоте остаётся одной и той же.

Для обоснования объёма применяют принцип Кавальери: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их сечений плоскостями, параллельными основаниям, равны на каждом уровне, то объёмы этих тел равны. Сравним цилиндр с призмой, у которой площадь основания равна S, а высота равна h. У призмы каждое параллельное основанию сечение имеет площадь S; у цилиндра — тоже S, поскольку сечения равны основанию. Поэтому условия принципа выполняются, и объёмы цилиндра и призмы одинаковы.

Объём призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту. Поскольку цилиндр с теми же S и h имеет такой же объём, получаем V = Sh. Здесь S — площадь именно кругового основания, а h — расстояние между плоскостями оснований. Формула показывает, что достаточно знать эти два размера: отдельно учитывать кривизну боковой поверхности не требуется.

У прямого кругового цилиндра основание — круг радиуса r, площадь которого равна S = πr². Подставим это выражение в формулу V = Sh: получим V = πr²h. Радиус возводится в квадрат, потому что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Если вместо радиуса дан диаметр, сначала нужно разделить его на два.

При неизменной высоте увеличение площади основания во столько-то раз увеличивает объём во столько же раз: это следует из V = Sh. При фиксированном радиусе площадь основания постоянна, поэтому объём прямо пропорционален высоте. Проверим единицы: площадь измеряется, например, в см², высота — в см, значит, V измеряется в см³. Если радиус увеличить в k раз, площадь круга изменится в k² раз, а вместе с ней и объём при той же высоте.

Величины и формулы для объёма цилиндра

Сначала выберите строку, соответствующую известным данным: если дана площадь основания, используйте V = Sh, а если радиус — V = πr²h. Перед подстановкой проверьте, что длины выражены в согласованных единицах. В ответе указывайте кубические единицы.

Разбор задач

Задача 1. Площадь основания цилиндра равна 12 см², высота — 5 см. Найдите объём. Площадь уже дана, поэтому переходить к радиусу не нужно: достаточно применить формулу через площадь основания. Проверим, что произведение площади на длину даст кубическую единицу.

1. Записываем формулу: V = Sh.
2. Подставляем S = 12 см² и h = 5 см: V = 12 · 5 = 60.
3. Указываем единицы: см² · см = см³.

Ответ: 60 см³.

Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 8 см. Найдите объём. Здесь площадь основания не дана, поэтому сначала используем формулу площади круга. Затем подставим полученную площадь и высоту либо сразу применим формулу V = πr²h.

1. Записываем формулу: V = πr²h.
2. Подставляем r = 3 см и h = 8 см: V = π · 3² · 8.
3. Вычисляем: 3² = 9, поэтому V = 72π см³.

Ответ: 72π см³.

Задача 3. Объём цилиндра равен 200π см³, высота — 8 см. Найдите радиус основания. Неизвестен радиус, поэтому подставим данные в формулу и выразим r². После извлечения корня берём положительное значение: длина радиуса не может быть отрицательной.

1. Подставляем данные в V = πr²h: 200π = πr² · 8.
2. Делим обе части равенства на 8π: r² = 25.
3. Извлекаем положительный корень: r = √25 = 5 см.

Ответ: 5 см.

Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса приводит к завышенному результату: при диаметре d в формуле площади нужно использовать r = d/2. Ошибка возникает потому, что диаметр часто указан в условии и его принимают за нужный размер круга. Перед вычислениями отметьте, какая величина дана, и проверьте, что квадрат возводится именно у половины диаметра.

Запись V = πrh неверна: в ней забыто возведение радиуса в квадрат. Путают выражения обычно потому, что высота и радиус оба являются длинами, однако в формуле сначала учитывается площадь круга πr². Для самопроверки посмотрите на размерность: πrh имеет единицы длины в квадрате, а объём должен измеряться в кубических единицах.

У наклонного цилиндра длина образующей не равна высоте, поэтому подстановка образующей вместо h даст неверный объём. Эти отрезки совпадают только у прямого цилиндра; высота в любом случае измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований. Проверьте рисунок или условие и используйте именно расстояние между плоскостями.

Если смешать сантиметры и метры, вычисление даст несогласованный результат; если записать см², будет указана единица площади, а не объёма. Такие ошибки часто появляются при механической подстановке чисел без проверки размерности. Приведите длины к одной единице и убедитесь, что итоговая единица имеет третью степень: например, см³.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться формулой V = πr²h, нужно знать формулу площади круга S = πr² и различать радиус и диаметр. Обоснование объёма опирается на понятие объёма призмы и принцип Кавальери: равенство площадей параллельных сечений позволяет сравнивать тела. В дальнейшем формула цилиндра помогает изучать объёмы конуса, шаровых тел и составных пространственных фигур, которые можно разложить на более простые тела.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
• Для прямого кругового цилиндра V = πr²h.
• r — радиус основания, h — расстояние между плоскостями оснований.
• Объём измеряется в кубических единицах.
• Если радиус увеличить в k раз при неизменной высоте, объём увеличится в k² раз.
• Если высоту увеличить в k раз при неизменном радиусе, объём увеличится в k раз.