"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Объём показывает, какую часть пространства занимает тело, и помогает сравнивать тела и находить вместимость сосудов или количество материала. Чтобы вычислить объём призмы или цилиндра, достаточно знать площадь основания и перпендикулярное расстояние между основаниями. Для пирамиды и конуса результат в три раза меньше произведения площади основания на высоту. В параграфе собраны формулы для этих тел, объяснение их смысла и примеры применения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом. Его измеряют сравнением с объёмом единичного куба: например, куба с ребром 1 см. Объём нужен, чтобы сравнивать тела и определять, сколько вещества или жидкости может в них поместиться.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sоснh. Здесь Sосн — площадь многоугольного основания, а h — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Эта формула действует для прямой и наклонной призмы, поэтому позволяет находить объём, не вычисляя площадь боковой поверхности.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый от вершины к плоскости основания, а не наклонное боковое ребро. Такое определение помогает выбрать нужный отрезок и не завысить результат втрое.
Объём цилиндра и конуса выражают через площадь основания и высоту: Vцил = Sоснh, Vкон = ⅓Sоснh. Для круга радиуса r площадь основания равна πr², поэтому Vцил = πr²h, а Vкон = ⅓πr²h. Формулы показывают, что цилиндр устроен по объёму как призма, а конус — как пирамида.
Объём можно связать с единичным кубом: число таких кубов, которыми можно заполнить тело, задаёт его меру. Если тело сложено из нескольких частей, не перекрывающих друг друга внутри, его объём равен сумме объёмов частей. Это свойство позволяет сравнивать сложные тела, разбивая их на простые, или наоборот вычитать объём одной части из другой.
У призмы параллельные основания одинаковы, а сечение плоскостью, параллельной основанию, имеет ту же площадь на любой высоте. Поэтому призму можно мысленно рассматривать как множество одинаковых тонких слоёв: площадь каждого слоя равна Sосн, а общая высота равна h. В результате объём получается умножением площади слоя на высоту. У наклонной призмы слои могут быть сдвинуты, но их площади и расстояние между основаниями не меняются, поэтому формула остаётся той же.
Чтобы увидеть множитель ⅓ у пирамиды, сравнивают её с призмой, у которой такие же основание и высота. Три пирамиды с равными объёмами можно составить в призму с теми же основанием и высотой, поэтому объём одной из них составляет треть объёма призмы. В пирамиде сечения, параллельные основанию, к вершине становятся меньше, что объясняет отличие от призмы с одинаковыми слоями. В формуле используется именно перпендикулярная высота, поскольку она задаёт расстояние между основанием и вершиной.
Цилиндр имеет круг в основании, а все параллельные основанию сечения равны этому кругу. По той же причине, что и у призмы, его объём равен площади круга, умноженной на высоту: V = πr²h. Сечения конуса, параллельные основанию, уменьшаются по мере приближения к вершине, поэтому конус, как и пирамида, занимает треть объёма цилиндра с таким же основанием и высотой. Отсюда V = ⅓πr²h.
Принцип Кавальери позволяет сравнивать объёмы тел по их сечениям. Если тела имеют одинаковую высоту и на каждом уровне площади сечений плоскостями, параллельными основаниям, равны, то равны и объёмы этих тел. Идея состоит в том, что тела набираются из слоёв одинаковой толщины, а соответствующие слои имеют одинаковую площадь. Этот принцип помогает обосновывать формулы даже тогда, когда тела не являются призмами или цилиндрами.
| Тело | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Призма | Sосн | h — расстояние между основаниями | V = Sоснh |
| Пирамида | Sосн | h — перпендикуляр от вершины к основанию | V = ⅓Sоснh |
| Цилиндр | πr² | h — расстояние между основаниями | V = πr²h |
| Конус | πr² | h — перпендикуляр от вершины к плоскости основания | V = ⅓πr²h |
Сначала определите тип тела и площадь его основания, затем найдите перпендикулярную высоту. Для пирамиды и конуса не забудьте множитель ⅓. Если основание круглое, используйте Sосн = πr².
Найдите объём прямой призмы, если площадь основания равна 18 см², а высота — 7 см. Известна площадь основания, поэтому искать стороны многоугольника не требуется. Применяем формулу объёма призмы V = Sоснh.
Ответ: 126 см³. Площадь основания и высота заданы в согласованных единицах, поэтому дополнительный перевод не нужен. Такой же расчёт применялся бы для наклонной призмы, если бы была известна её перпендикулярная высота.
Основание пирамиды имеет площадь 30 см², а высота равна 9 см. Требуется найти объём, поэтому нельзя просто умножить данные, как для призмы: пирамида с тем же основанием и высотой занимает треть такого объёма. В условии высота уже дана отдельно, и её не нужно заменять боковым ребром.
Ответ: 90 см³. Для проверки можно сначала найти объём призмы с такими же основанием и высотой: он равен 270 см³. Объём пирамиды составляет треть от него, то есть 90 см³.
Найдите объём конуса радиуса 4 см и высоты 6 см, затем сравните его с объёмом цилиндра с теми же основанием и высотой. Основание обоих тел — круг радиуса 4 см, его площадь равна πr². Образующая конуса здесь не нужна: в условии дана перпендикулярная высота.
Ответ: объём конуса равен 32π см³, цилиндра — 96π см³; конус занимает треть объёма цилиндра. Приближённо это 100,5 см³ и 301,6 см³. Отношение 1 : 3 сохраняется при любых одинаковых для конуса и цилиндра основании и высоте.
Пропуск множителя ⅓. Так бывает, когда формулу призмы или цилиндра по привычке переносят на пирамиду или конус. Тогда результат оказывается втрое больше правильного. Проверьте тип тела и сравните формулу с таблицей: множитель ⅓ нужен для пирамиды и конуса.
Подстановка бокового ребра или образующей вместо высоты. Эти отрезки обычно наклонены к основанию, поэтому не задают расстояние между плоскостями оснований или от вершины до основания. Ошибку допускают, если выбирают самый заметный отрезок на чертеже, не проверяя прямой угол. Уточните, какой отрезок перпендикулярен основанию; если известна образующая, может понадобиться отдельно найти высоту.
Путаница между площадью основания, его стороной и радиусом. В формулу объёма входит именно площадь, а не длина стороны многоугольника или радиус круга. Ошибка возникает, когда известное линейное значение подставляют сразу, не вычислив площадь основания. Проверьте размерность: сначала найдите, например, a² для квадрата или πr² для круга.
Запись объёма в квадратных единицах. Это часто происходит, если в ответе оставляют единицу площади основания, забывая умножить её на высоту. Поскольку см² · см = см³, объём измеряют кубическими единицами. Проверьте, что единица в ответе содержит три измерения длины, например м³ или см³.
Для применения формул нужно уметь находить площади многоугольников и круга: площадь основания призмы или пирамиды может потребовать вычислений по сторонам и углам, а для цилиндра и конуса нужно знать S = πr². Также важно различать высоту тела и его боковые элементы, такие как ребро или образующая. Без этого легко выбрать правильную формулу, но подставить в неё неподходящую длину.
Формулы объёмов используются при изучении шара и его частей, а также комбинированных тел. Сложное тело часто можно разделить на призмы, цилиндры, пирамиды или конусы, найти объёмы частей и сложить их. Если одна часть вырезана, её объём вычитают из объёма всего тела.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется одна треть?
Пирамида и призма с одинаковыми основанием и высотой имеют объёмы в отношении 1 : 3. Причина связана с тем, что горизонтальные сечения пирамиды уменьшаются к вершине, тогда как сечения призмы равны основанию. Поэтому объём пирамиды равен ⅓Sоснh.
Можно ли использовать формулу объёма призмы для наклонной призмы?
Да. Объём прямой и наклонной призмы вычисляют по формуле V = Sоснh. Для наклонной призмы h — не боковое ребро, а перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.
Чем высота конуса отличается от его образующей?
Высота конуса — отрезок, перпендикулярный плоскости основания и соединяющий вершину с этой плоскостью. Образующая идёт от вершины к точке окружности основания по боковой поверхности и обычно наклонена к основанию.
Как найти площадь основания, если дана только сторона или радиус?
Сначала определите форму основания и примените подходящую формулу площади. Например, площадь квадрата со стороной a равна a², а площадь круга радиуса r — πr².
Почему объём записывают в кубических, а не квадратных единицах?
Площадь измеряют в квадратных единицах, а объём — в кубических, потому что объём учитывает три измерения пространства. При умножении площади основания на высоту получается, например, см² · см = см³.
§ 30. Объемы некоторых тел
