"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Тела вращения возникают, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой: так можно получить цилиндр, конус или шар. Их модели встречаются в технике и быту — например, у трубы, воронки и мяча. Чтобы находить объём и площадь поверхности, нужно узнавать элементы тела, связывать их с кругом и применять формулы. В параграфе разбираются эти связи и способы решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело вращения — тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой, называемой осью вращения. Форма зависит от того, какую фигуру и вокруг какой её части вращают: прямоугольник даёт цилиндр, а прямоугольный треугольник — конус. Это определение помогает представить, откуда берутся части тела и как их размеры связаны с исходной фигурой.
Цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Круги, полученные вращением противоположных сторон, называют основаниями, а соединяющую их боковую часть — боковой поверхностью. Высота h — расстояние между основаниями, радиус r — радиус каждого основания. Эти величины нужны для вычисления объёма и площади цилиндра.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Круг, который описывает второй катет, — основание; конец оси напротив основания — вершина. Расстояние от вершины до основания называют высотой h, радиус основания обозначают r, а наклонную линию от вершины к окружности основания — образующей l. Различие высоты и образующей важно при выборе формулы.
Шар образуется вращением полукруга вокруг его диаметра, а сфера — поверхность шара. Общая середина диаметра становится центром, а расстояние от центра до поверхности — радиусом R. Шар включает внутренние точки, сфера состоит только из точек поверхности; это различие определяет, какую величину находят в задаче.
Если вращать прямоугольник вокруг стороны, две противоположные стороны опишут круги, а остальные — боковую поверхность цилиндра. Поэтому длина оси вращения становится высотой цилиндра, а расстояние до противоположной стороны задаёт радиус основания. Сечение плоскостью, параллельной основаниям, получается кругом того же радиуса: такая плоскость проходит через все точки цилиндра на одном уровне. Если же провести плоскость через ось, осевое сечение будет прямоугольником со сторонами h и 2r, потому что ширина основания на этом сечении равна диаметру.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся на месте и становится осью конуса. Второй катет обходит ось по кругу и задаёт радиус основания, а гипотенуза заметает боковую поверхность. Поэтому высота перпендикулярна основанию, а образующая наклонена к нему. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник: его основание равно 2r, боковые стороны равны l, а высота равна h. Половина этого треугольника прямоугольная, значит, l² = h² + r².
У цилиндра каждый слой, параллельный основанию, имеет одну и ту же площадь πr², поэтому объём равен площади основания, умноженной на высоту: V = πr²h. У конуса слои постепенно уменьшаются к вершине, поэтому его объём при тех же площади основания и высоте втрое меньше: V = ⅓πr²h. Это различие выражает не особый способ измерения, а то, что конус заполняет лишь треть цилиндра с таким же основанием и высотой.
Чтобы найти боковую поверхность цилиндра, её разворачивают в плоскую фигуру. Получается прямоугольник: одна сторона равна высоте h, другая — длине окружности основания 2πr, поэтому Sбок = 2πrh. Если развернуть боковую поверхность конуса, получится сектор круга радиуса l; длина дуги этого сектора равна 2πr, откуда площадь боковой поверхности Sбок = πrl. Для полной поверхности к боковой площади прибавляют площади оснований: два круга у цилиндра и один у конуса.
При сечении шара плоскостью получается круг. Если расстояние от центра шара до плоскости равно d, перпендикуляр к плоскости и радиус круга сечения образуют с радиусом шара прямоугольный треугольник. Поэтому радиус сечения rсеч находится по формуле rсеч = √(R² − d²). Объём шара и площадь его поверхности зависят от разных степеней радиуса: V = ⁴⁄₃πR³, S = 4πR². Если радиус увеличить в k раз, объём увеличится в k³ раз, а площадь сферы — в k² раз.
| Тело | Объём | Боковая поверхность | Полная поверхность | Основные размеры |
|---|---|---|---|---|
| Цилиндр | V = πr²h | Sбок = 2πrh | Sполн = 2πrh + 2πr² | r — радиус основания, h — высота |
| Конус | V = ⅓πr²h | Sбок = πrl | Sполн = πrl + πr² | r — радиус, h — высота, l — образующая; l² = h² + r² |
| Шар и сфера | V = ⁴⁄₃πR³ | Не выделяется | Sсферы = 4πR² | R — радиус шара и сферы |
Сначала определите, какое тело дано и какие размеры известны, затем выберите формулу для нужной величины. Если требуется полная поверхность, проверьте, сколько оснований нужно добавить. Для шара площадь относится к сфере — его поверхности, а объём относится ко всему шару.
Задача 1. Цилиндр имеет радиус основания 3 см и высоту 5 см. Найдите его объём и площадь полной поверхности. Даны r = 3 см и h = 5 см; поскольку просят полную поверхность, одной боковой площади будет недостаточно. Подставим данные в формулы цилиндра.
Ответ: 45π см³ и 48π см².
Задача 2. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 см и основанием 10 см. Найдите высоту, объём и площадь боковой поверхности конуса. Боковая сторона сечения является образующей l, а основание — диаметром основания конуса, поэтому r = 10 : 2 = 5 см. Высота делит основание сечения пополам, образуя прямоугольный треугольник.
Ответ: высота 12 см, объём 100π см³, боковая площадь 65π см².
Задача 3. Шар радиуса 6 см пересечён плоскостью на расстоянии 3 см от центра. Найдите радиус круга сечения и объём части шара, если он требуется по условию задачи. Для радиуса сечения достаточно геометрии прямоугольного треугольника. Объём части шара нельзя определить, пока не указано, какая именно часть имеется в виду: например, плоскость может отсекать меньший шаровой сегмент или делить шар иначе.
Ответ: радиус круга сечения равен 3√3 см; объём части без уточнения её вида не определяется.
Путать образующую конуса с высотой. Так происходит потому, что обе величины выходят из вершины, но образующая наклонена, а высота перпендикулярна основанию. Проверьте рисунок или описание: в прямоугольном треугольнике образующая — гипотенуза, а высота и радиус — катеты. Значит, связь между ними задаёт равенство l² = h² + r².
Учитывать только боковую поверхность. Это случается, если не заметить слово «полная» или автоматически подставить формулу Sбок. Для проверки перечислите все части поверхности: у цилиндра два основания, у конуса одно. Площадь каждого основания нужно прибавить, если задача спрашивает полную поверхность.
Подставлять диаметр вместо радиуса. Диаметр часто дан в условии, а формулы записаны через радиус, поэтому легко заменить одну величину другой. Перед вычислениями запишите r = d : 2 и только потом подставляйте значение. Проверка проста: радиус должен быть вдвое меньше диаметра.
Путать квадратные и кубические единицы. Ошибку допускают, когда не связывают единицу с искомой величиной. Площадь поверхности измеряется в см², м² и других квадратных единицах, а объём — в см³, м³. Сверьте единицу ответа с тем, что требуется найти.
Для вычислений нужны знания о площади круга и длине окружности: именно они входят в формулы оснований и боковых поверхностей. Теорема Пифагора помогает находить высоту или образующую конуса, а свойства прямоугольника и треугольника — понимать осевые сечения тел. Эти умения пригодятся и при решении задач на составные тела, где несколько фигур объединены вместе. Формулы также применяют в стереометрии и практических расчётах, например при оценке вместимости или площади материала.
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — это поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает эту поверхность и все точки внутри неё. Поэтому у шара можно найти объём, а у сферы — площадь поверхности.
Почему объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с таким же основанием и высотой?
Объём цилиндра равен Sоснh, а конуса — ⅓Sоснh. Геометрически три конуса с одинаковыми основанием и высотой по объёму соответствуют такому цилиндру. Поэтому объём одного конуса составляет треть объёма цилиндра.
Как найти образующую конуса, если известны его высота и радиус основания?
Высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора образующая равна √(h² + r²), где h — высота, r — радиус основания.
Когда в задаче нужно находить боковую, а когда полную поверхность?
Боковую поверхность находят, если в условии спрашивают только площадь боковой части, без оснований. Полную поверхность считают, когда нужно учесть всё тело: складывают боковую площадь и площади всех оснований.
Как определить радиус круга сечения шара плоскостью?
Соедини центр шара с точкой сечения и проведи перпендикуляр от центра к плоскости. Радиус шара, расстояние от центра до плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник. Поэтому радиус сечения равен √(R² − d²), где R — радиус шара, d — расстояние до плоскости.
§ 8. Объемы и поверхности тел вращения
