72. Объемы подобных тел

Определения и обозначения

Подобные тела — тела одинаковой формы, соответствующие линейные размеры которых пропорциональны. Иными словами, одно тело можно получить из другого равномерным увеличением или уменьшением всех его размеров. Это понятие позволяет сравнивать тела разного масштаба и применять к ним общие соотношения.

Коэффициент подобия — число k, равное отношению соответствующих линейных размеров двух подобных тел. Например, если ребро второго тела вдвое длиннее соответствующего ребра первого, коэффициент перехода от первого ко второму равен 2. Он показывает масштаб изменения и помогает определить, как изменятся площади и объёмы.

Отношение объёмов подобных тел — отношение их объёмов, равное кубу коэффициента подобия. Если k показывает, во сколько раз линейные размеры второго тела больше размеров первого, то V₂/V₁ = k³. Это определение нужно, чтобы находить неизвестный объём или сравнивать тела, не вычисляя объём каждого из них отдельно.

Как это устроено

При подобии все линейные размеры изменяются с одним и тем же коэффициентом k. Поэтому длины рёбер, высот и других соответствующих отрезков умножаются на k. Площадь зависит от двух измерений: например, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Если оба измерения увеличить в k раз, площадь станет в k² раз больше.

Объём зависит уже от трёх измерений, поэтому одной площадью изменение не описать. Представим тело разделённым на одинаковые маленькие кубики, а каждую сторону увеличим в k раз. По каждому из трёх направлений в увеличенном теле поместится в k раз больше таких элементов, поэтому общее их число изменится в k · k · k = k³ раз. Это объясняет, почему объём масштабируется как куб линейного коэффициента.

Если k — отношение соответствующих размеров первого тела ко второму, то объёмы нужно записать в том же порядке: V₁/V₂ = k³. Например, при k = 3 первое тело в три раза больше второго по соответствующим длинам, а его объём больше в 27 раз. Порядок индексов здесь не формальность: при перестановке тел коэффициент тоже должен быть обратным.

Когда коэффициент задан для перехода от первого тела ко второму, соответствующие размеры второго тела равны размерам первого, умноженным на k. Тогда объём второго тела равен V₂ = k³V₁. Так, при увеличении размеров в 2 раза объём нужно умножить на 8, а не на 2. Перед вычислением полезно словами проговорить, какое тело считается исходным и какое — увеличенным.

Если объёмы уже известны, линейный коэффициент можно восстановить обратным действием. Сначала делят объём тела, к которому переходят, на объём исходного, затем извлекают кубический корень: k = ∛(V₂/V₁). Например, если отношение объёмов второго к первому равно 64, то отношение соответствующих размеров равно ∛64 = 4. Корень нужен потому, что объёмное отношение содержит третью степень линейного коэффициента.

Как меняются характеристики подобных тел

В таблице коэффициент k относится к переходу от первой величины ко второй, поэтому все отношения нужно читать в том же порядке. Чтобы найти площадь или объём увеличенного тела, умножай соответствующую величину исходного тела на k² или k³. Если требуется перейти от большего тела к меньшему, используй обратный коэффициент.

Разбор задач

Задача 1

Два подобных тела имеют коэффициент подобия 2. Объем первого тела равен 15 см³. Найдите объем второго, если второе тело в 2 раза больше по соответствующим линейным размерам. Коэффициент задан от первого тела ко второму, поэтому ищем V₂.

1. Для объёмов используем куб коэффициента подобия: V₂/V₁ = k³.
2. Подставляем данные: V₂ = 15 · 2³ = 15 · 8 = 120 см³.
3. Проверяем смысл результата: увеличенное тело должно иметь больший объём, и 120 см³ больше 15 см³.

Ответ: 120 см³.

Задача 2

Объемы двух подобных тел равны 8 см³ и 216 см³. Нужно определить, во сколько раз соответствующие линейные размеры второго тела больше размеров первого. Поскольку объём второго больше, коэффициент перехода от первого ко второму должен быть больше 1.

1. Составляем отношение объёмов в указанном порядке: V₂/V₁ = 216/8 = 27.
2. Это отношение равно кубу коэффициента подобия, поэтому k³ = 27.
3. Извлекаем кубический корень: k = ∛27 = 3.

Ответ: соответствующие размеры второго тела в 3 раза больше.

Задача 3

Два подобных тела имеют отношение объемов 125:8. Одно из соответствующих ребер первого тела равно 20 см. Требуется найти соответствующее ребро второго тела. Порядок отношения задан как первое тело ко второму, поэтому первое тело крупнее.

1. Отношение соответствующих линейных размеров равно кубическому корню из отношения объёмов: l₁/l₂ = ∛(125/8) = 5/2.
2. Значит, ребро первого тела в 5/2 раза длиннее ребра второго. Чтобы найти меньшее ребро, делим 20 на 5/2: l₂ = 20 · 2/5.
3. Вычисляем: l₂ = 8 см. Полученное значение меньше 20 см, как и должно быть по условию.

Ответ: 8 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что объёмы относятся как k или k². Так бывает, если учитывать изменение только одного или двух измерений и забыть о третьем. Для проверки вспомни формулу объёма прямоугольного параллелепипеда: в ней перемножаются три длины, поэтому при подобии появляется k³.

Вторая ошибка — перепутать порядок тел в коэффициенте и отношении объёмов. Если k задан от первого тела ко второму, то V₂/V₁ = k³, а не V₁/V₂. Перед подстановкой подпиши индексы у размеров и объёмов или проверь результат: для увеличенного тела отношение второго объёма к первому должно быть больше 1.

Третья ошибка — принять отношение объёмов за отношение линейных размеров. Например, из отношения объёмов 27:1 нельзя заключить, что ребро длиннее в 27 раз: соответствующие длины относятся как ∛27:1, то есть 3:1. Самопроверка проста: возведи найденное линейное отношение в куб и сравни с исходным отношением объёмов.

Четвёртая ошибка — применять правило к любым двум телам. Если тела не подобны, их соответствующие размеры не обязаны изменяться с единым коэффициентом, поэтому формула V₂/V₁ = k³ может не работать. Сначала проверь, пропорциональны ли соответствующие размеры; только затем используй формулу.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия подобных фигур и коэффициента подобия, а также умение работать со степенями и кубическим корнем. Связь с площадями подобных фигур объясняет промежуточный результат: площади относятся как квадрат коэффициента подобия. Соотношение объёмов используют при масштабировании тел и сравнении геометрических фигур, например когда известен объём одного тела, а у другого нужно найти объём или размеры.

Что запомнить

• У подобных тел соответствующие линейные размеры пропорциональны.
• Если коэффициент подобия равен k, то соответствующие площади относятся как k².
• Объёмы подобных тел относятся как k³.
• Коэффициент подобия и отношение объёмов нужно записывать в одном и том же порядке.
• Линейный коэффициент подобия находят как кубический корень из отношения объёмов.