"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Усечённая пирамида — часть пирамиды между основанием и параллельной ему плоскостью, которая отсекает вершину. Её объём нужен, чтобы вычислять вместимость и количество материала для тел такой формы. Для расчёта используют высоту и площади двух оснований: V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)). Важно не перепутать высоту с наклонным ребром и брать под корнем произведение площадей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Усечённая пирамида — часть пирамиды между плоскостью основания и параллельной ей плоскостью, отсекающей вершину. Иначе говоря, от исходной пирамиды мысленно отрезали верхушку, а оставшееся тело и называют усечённым. Такое представление помогает понять, почему для вычисления объёма удобно сравнивать две пирамиды.
Основания усечённой пирамиды — два подобных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях; большее основание является частью исходного основания пирамиды. Подобными называются фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие стороны пропорциональны. Это свойство позволяет связать размеры отсечённой части с размерами всей пирамиды.
Высота усечённой пирамиды — перпендикулярное расстояние между плоскостями её оснований. Её обычно обозначают h и измеряют по прямой, образующей с основаниями прямой угол. Эта величина нужна для расчёта объёма; наклонное боковое ребро высотой не является.
Объём усечённой пирамиды — величина, вычисляемая по площадям оснований и высоте по формуле V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)). Здесь V обозначает объём, а S₁ и S₂ — площади нижнего и верхнего оснований. По формуле видно, что для ответа нужны именно площади, а не длины сторон.
Параллельная плоскость отсекает от пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Это происходит потому, что секущая плоскость параллельна основанию: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Между двумя плоскостями остаётся усечённая пирамида, поэтому её можно рассматривать как исходное тело без верхней части.
Объём усечённой пирамиды находят как разность объёмов исходной и отсечённой пирамид. Для каждой из них применяют формулу объёма пирамиды V = Sh/3, где S — площадь основания, а h — высота. Вычитание здесь необходимо: объём одной большой пирамиды включает и ту верхнюю часть, которой в усечённом теле уже нет.
Чтобы выполнить это вычитание, используют подобие пирамид. У подобных тел отношение высот равно отношению соответствующих линейных размеров. Площади оснований относятся как квадрат этого коэффициента, потому что при увеличении каждой длины в несколько раз площадь увеличивается в квадрат этого числа. Поэтому известные площади позволяют выразить высоту отсечённой пирамиды через высоту исходной.
После подстановки связи между высотами и площадями в разность объёмов получается V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)). Средний член под корнем возникает именно из соотношения подобных пирамид, а не добавляется произвольно. Величина √(S₁S₂) — геометрическое среднее площадей оснований. Если основания заметно отличаются по площади, этот член нельзя заменить их полусуммой.
При равных площадях оснований формула даёт V = h/3 · (S + S + S) = Sh. Это та же формула, что для призмы с площадью основания S и высотой h. Такая проверка показывает, что общий результат согласуется с простым частным случаем, хотя сама усечённая пирамида и призма устроены по-разному.
| Что обозначает | Обозначение или формула | Как определить |
|---|---|---|
| Площади нижнего и верхнего оснований | S₁ и S₂ | Вычислить по форме каждого многоугольника или взять из условия |
| Высота усечённой пирамиды | h | Найти перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований |
| Объём усечённой пирамиды | V = h/3 · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) | Подставить обе площади и высоту в формулу |
| Проверка при равных площадях оснований | S₁ = S₂ = S; V = Sh | Упростить общую формулу и сравнить с формулой объёма призмы |
Сначала определите, какие величины известны, и убедитесь, что площади выражены в одинаковых единицах. Затем найдите высоту и подставьте данные в формулу; если основание задано сторонами, прежде вычислите его площадь. Для проверки результата можно рассмотреть случай равных площадей оснований и проверить размерность объёма.
Задача 1. Площади оснований равны 25 см² и 9 см², высота — 6 см. Нужно найти объём усечённой пирамиды. Под корнем будет произведение площадей, поэтому сперва вычислим его корень, а затем сложим три слагаемых в скобках.
Ответ: 98 см³. Единица объёма — кубический сантиметр, поскольку площади заданы в квадратных сантиметрах, а высота — в сантиметрах. Если бы корень заменили полусуммой площадей, результат оказался бы другим и формула была бы применена неверно.
Задача 2. Площади квадратных оснований равны 64 см² и 16 см², расстояние между ними — 9 см. Найдём объём и стороны квадратов. Сначала восстановим длины сторон, но для объёма будем использовать заданные площади: длина стороны и площадь — разные величины.
Ответ: объём равен 336 см³, стороны оснований — 8 см и 4 см. Здесь стороны нужны для отдельной части вопроса, а в формулу объёма входят площади. Проверка размерности показывает, что результат выражен в кубических сантиметрах.
Задача 3. Площади оснований относятся как 9:4, высота равна 5 см, а объём — 95 см³. Требуется найти обе площади. Отношение удобно сохранить, обозначив площади через один общий множитель: тогда неизвестной останется только одна величина.
Ответ: 27 см² и 12 см². Проверка: √(27 · 12) = 18, а V = 5/3 · (27 + 12 + 18) = 95 см³. Отношение найденных площадей действительно равно 27:12 = 9:4.
Подставляют в формулу длины сторон оснований вместо их площадей. Ошибка возникает, когда сторона квадрата или другого многоугольника принимается за S₁ либо S₂; тогда слагаемые в формуле имеют неправильный смысл. Перед подстановкой подпишите каждую величину и проверьте, что S₁ и S₂ измеряются в квадратных единицах.
Берут наклонное ребро или апофему за высоту. Эти отрезки проходят под наклоном к основаниям, поэтому не задают расстояние между параллельными плоскостями. Ошибка особенно вероятна на чертеже, где перпендикуляр не проведён; проверить себя можно, отметив прямой угол между высотой и основанием.
Заменяют √(S₁S₂) на полусумму площадей. Полусумма — это арифметическое среднее, а в формуле объёма появляется геометрическое среднее; эти выражения в общем случае не равны. Проверьте вычисление, отдельно перемножив площади и извлекая корень, а также подставив равные площади: только тогда оба средних совпадают.
Считают объём усечённой пирамиды как объём одной большой пирамиды. Так забывают, что верхняя отсечённая часть не входит в искомое тело. Если решаете через объёмы пирамид, вычтите объём меньшей из объёма исходной; если используете готовую формулу, проверьте, что в ней учтены оба основания.
Для работы с усечённой пирамидой нужно знать формулу объёма пирамиды V = Sh/3 и уметь находить площади многоугольников. Например, площадь квадратного основания находят по стороне, а площадь прямоугольного — по двум сторонам. Также используются подобие пирамид и связь коэффициента подобия с отношением площадей: площади относятся как квадраты соответствующих линейных размеров.
Эта тема помогает вычислять объёмы тел, полученных усечением пирамиды, и решать другие стереометрические задачи. Она связывает свойства подобных фигур с практическим расчётом объёма. При необходимости неизвестные площади можно выразить через их отношение и составить уравнение.
Чем усечённая пирамида отличается от призмы?
У усечённой пирамиды основания подобны, но обычно имеют разные размеры, а боковые грани — трапеции. У призмы основания равны и параллельны, а боковые грани — параллелограммы.
Как найти высоту усечённой пирамиды?
Высота — это длина перпендикуляра между плоскостями оснований. Её находят по данным задачи или вычисляют из других величин, если известны дополнительные размеры и соотношения.
Почему в формуле объёма есть корень из произведения площадей оснований?
При выводе формулы вычитают объём меньшей пирамиды из объёма исходной и используют подобие этих пирамид. Отношение их высот связано с корнем из отношения площадей оснований, поэтому появляется √(S₁S₂).
Можно ли применять формулу, если основания не являются правильными многоугольниками?
Да. Формула зависит от площадей оснований и высоты, а не от того, являются ли многоугольники правильными. Главное, чтобы основания были подобными и лежали в параллельных плоскостях.
Что делать, если известны объём и отношение площадей оснований?
Представьте площади как пропорциональные величины, например S₁ = 9k и S₂ = 4k. Подставьте их и известные объём с высотой в формулу, а затем решите уравнение относительно k.
71. Объем усеченной пирамиды
