"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Объём пирамиды показывает, сколько пространства занимает это тело. Чтобы его вычислить, нужны площадь основания и высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Главная формула: V = ⅓Sh, поэтому при одинаковых площади основания и высоте пирамиды имеют равные объёмы, даже если их основания различаются по форме. Разберём, откуда берётся множитель ⅓, как применять формулу и как находить неизвестные величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём пирамиды — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую этим телом. Как и объёмы других тел, его выражают в кубических единицах: см³, м³ и других. По объёму можно сравнивать, сколько места занимают разные пирамиды или сколько вещества могло бы заполнить тело.
Основание пирамиды — многоугольник, относительно которого рассматривают пирамиду. Площадь основания обозначают буквой S. Она нужна в формуле объёма, поэтому перед вычислением объёма иногда сначала приходится находить площадь многоугольника.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания, а h обозначает длину этого перпендикуляра. Высота измеряет расстояние от вершины до основания именно по прямому углу. Это определение помогает не спутать h с наклонным боковым ребром.
Объём треугольной пирамиды — объём пирамиды, основание которой является треугольником. Такой частный случай важен для обоснования общей формулы: многоугольную пирамиду можно разбить на несколько треугольных. Затем объёмы частей складывают, получая объём всего тела.
Многоугольное основание можно разделить диагоналями на треугольники, а вершину пирамиды соединить с вершинами этих треугольников. Так исходная пирамида разбивается на треугольные пирамиды с общей вершиной и основаниями в плоскости исходного основания. Объём всего тела равен сумме объёмов частей: при разбиении не остаётся пустот и части не перекрываются внутренностями. Поэтому достаточно обосновать формулу для треугольной пирамиды.
Чтобы сравнивать объёмы треугольных пирамид, удобно применить принцип Кавальери: если тела между двумя параллельными плоскостями имеют равные площади сечений на каждой одинаковой высоте, их объёмы равны. У треугольных пирамид с равными площадями оснований и одинаковой высотой сечения, параллельные основаниям, уменьшаются в одинаковой пропорции по мере удаления от основания. Значит, на любой высоте площади соответствующих сечений равны, а по принципу Кавальери равны и объёмы пирамид.
Возьмём треугольную призму и разделим её на три треугольные пирамиды. У этих пирамид можно выбрать основания так, чтобы у каждой площадь основания совпадала с площадью основания призмы, а высота равнялась высоте призмы. По предыдущему рассуждению их объёмы равны. Поскольку три объёма вместе составляют объём призмы Sh, на каждую пирамиду приходится треть: V = ⅓Sh.
Для многоугольной пирамиды сложим объёмы треугольных частей. У каждой части одна и та же высота h, а сумма площадей треугольных оснований равна площади всего основания S. Поэтому сумма объёмов равна ⅓h, умноженному на сумму площадей, то есть V = ⅓Sh. От формы основания результат не зависит: если у двух пирамид одинаковы S и h, формула даёт одинаковый объём.
Формулу можно преобразовать, если требуется найти не объём, а одну из величин, от которых он зависит. Умножив обе части на 3 и разделив на S или h, получаем h = 3V/S и S = 3V/h. Размерности служат проверкой: квадратные единицы площади, умноженные на линейные единицы высоты, дают кубические единицы объёма.
| Что требуется найти | Формула | Какие величины известны |
|---|---|---|
| Объём пирамиды | V = ⅓Sh | Площадь основания S и высота h |
| Площадь основания | S = 3V/h | Объём V и высота h |
| Высоту пирамиды | h = 3V/S | Объём V и площадь основания S |
| Единицы измерения | Единицы V — кубические | S — квадратные, h — линейные |
Сначала определите, какую величину нужно найти, затем выберите соответствующую строку и проверьте, какие данные уже есть. Если известна только форма основания, сначала вычислите его площадь. Перед записью ответа убедитесь, что единицы измерения площади и длины согласованы.
Задача 1. Площадь основания пирамиды равна 24 см², а высота — 9 см. Найдите объём. Площадь и высота уже даны, поэтому можно сразу применить формулу объёма. В результате произведение см² на см даст см³.
Ответ: 72 см³.
Задача 2. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см, высота пирамиды равна 12 см. Найдите объём. Для формулы нужна площадь основания, а не длина одной из сторон, поэтому сначала найдём площадь прямоугольника. Затем подставим её вместе с высотой.
Ответ: 240 см³.
Задача 3. Объём пирамиды равен 140 см³, а площадь основания — 35 см². Найдите высоту и объясните, изменится ли объём при замене основания на другой многоугольник площадью 35 см². Неизвестна высота, поэтому преобразуем формулу V = ⅓Sh. При замене основания площадь и высота сохранятся, а значит, формула даст тот же объём.
Ответ: высота равна 12 см; объём не изменится.
Забывают множитель ⅓ и считают объём по формуле призмы V = Sh. Так происходит, когда запоминают только умножение площади на высоту; но пирамида с той же площадью основания и высотой втрое меньше призмы. Проверьте, что перед произведением Sh стоит коэффициент ⅓.
Подставляют в формулу длину стороны основания вместо площади S. Длина и площадь — разные величины, поэтому такой расчёт ещё и не согласуется с единицами. Сначала найдите площадь многоугольника, а затем убедитесь, что она выражена в квадратных единицах.
Принимают за высоту боковое ребро или наклонную высоту грани. Их можно перепутать с h, если смотреть только на чертёж, однако они обычно наклонены к плоскости основания. Проверьте определение: высота должна быть перпендикулярна плоскости основания.
Записывают результат в квадратных единицах. Площадь основания действительно измеряется в см², но при умножении на высоту в сантиметрах получается см³. Проверьте размерность ответа: объём всегда записывается в кубических единицах.
Для вычислений понадобятся формулы площадей многоугольников: например, площадь прямоугольника или треугольника. Также нужно понимать, что такое перпендикуляр и высота, и знать формулу объёма призмы V = Sh. Принцип Кавальери помогает обосновать равенство объёмов тел по площадям их сечений.
Формула объёма пирамиды применяется при вычислении объёмов усечённых пирамид и многогранников, которые можно разбить на пирамиды. Она также помогает решать стереометрические задачи, где объём находят по частям или сравнивают тела. В каждом случае полезно сначала определить основание и перпендикулярную высоту.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется множитель 1/3?
Треугольная призма с той же площадью основания и высотой имеет объём Sh, а её можно разделить на три равные по объёму пирамиды. Поэтому объём каждой такой пирамиды равен одной трети объёма призмы.
Как найти высоту пирамиды, если известны её объём и площадь основания?
Из формулы V = ⅓Sh выразите высоту: h = 3V/S. Подставьте объём и площадь основания, предварительно проверив, что единицы измерения согласованы.
Можно ли использовать в формуле наклонную высоту боковой грани?
Нет, в формуле нужна высота пирамиды — расстояние от вершины до плоскости основания по перпендикуляру. Наклонная высота боковой грани не подходит, если только она не перпендикулярна основанию.
Зависит ли объём пирамиды от формы основания?
При равных площади основания и высоте объёмы пирамид одинаковы, даже если основания имеют разные формы. Для расчёта по формуле важны значения S и h, а не очертания многоугольника.
В каких единицах нужно записывать объём пирамиды?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³ или м³. Это следует из формулы: площадь измеряется в квадратных единицах, а высота — в линейных.
70. Объем пирамиды
