3.3. Объем пирамиды

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольником, а боковые грани — треугольниками с общей вершиной. Основание обозначают, например, ABCD, а общую вершину боковых граней — буквой S. Такое обозначение помогает различать многоугольник внизу и вершину, к которой сходятся боковые грани.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Обычно высоту обозначают h, а точку, в которой она пересекает основание, называют основанием высоты. Высота может проходить вне многоугольника основания; это всё равно расстояние от вершины до плоскости, а не длина наклонного бокового ребра.

Объём пирамиды — величина, которая показывает, какую часть пространства занимает пирамида; его обозначают V. Объём позволяет сравнивать тела по занимаемому ими пространству и вычислять вместимость. Для расчёта понадобятся площадь основания и высота, причём измеряют их в согласованных единицах.

Как это устроено

Формула объёма пирамиды имеет вид V = ⅓ Sосн h, где Sосн — площадь основания, а h — высота, проведённая к плоскости основания. Площадь показывает, насколько велико основание, а высота — насколько далеко от него расположена вершина. Вместе эти величины задают объём тела, а множитель ⅓ учитывает, что пирамида сужается к вершине. Поэтому нельзя заменить высоту длиной бокового ребра: такая длина не измеряет расстояние перпендикулярно до плоскости основания.

Коэффициент ⅓ можно понять через сравнение с призмой. Три пирамиды равного объёма могут составить призму, у которой та же площадь основания и та же высота; объём этой призмы равен Sосн h. Значит, объём каждой из трёх равных частей составляет треть от объёма призмы. Это объяснение связывает формулу пирамиды с уже знакомой формулой объёма призмы.

Формула подходит для пирамид с любыми многоугольными основаниями: треугольными, четырёхугольными и другими. В ней используется только площадь основания, а не способ, которым оно устроено, поэтому форма многоугольника не меняет саму формулу. Положение вершины также не влияет на правило: вершина может находиться над центром основания или быть смещённой в сторону. В каждом случае нужно измерить именно перпендикуляр от вершины до плоскости основания.

Для вычисления объёма сначала находят площадь основания, затем определяют высоту пирамиды и подставляют обе величины в формулу. Если основание задано сторонами, его площадь вычисляют отдельно по соответствующей формуле для многоугольника. Единицы измерения должны быть согласованы: например, площадь в см² и высота в см дают объём в см³. Если одна из величин дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала переведите их в удобные одинаковые единицы.

Формулу можно преобразовать, если объём уже известен, а требуется найти площадь основания или высоту. Умножение обеих частей равенства V = ⅓ Sосн h на 3 даёт 3V = Sосн h. Отсюда Sосн = 3V / h, а h = 3V / Sосн. Перед вычислением проверьте, что известная величина не равна нулю и все единицы согласованы.

Величины и формулы для объема пирамиды

Выберите строку по тому, какую величину требуется найти, и подставьте известные данные. Если площадь основания ещё не дана, сначала вычислите её по форме многоугольника. После расчёта проверьте единицы: результат для объёма должен быть кубическим, а для высоты — линейным.

Разбор задач

1. Объём по площади основания и высоте

Условие. Площадь основания пирамиды равна 18 см², а высота — 5 см. Найдём, какой объём занимает пирамида. Данные уже выражены в согласованных единицах, поэтому можно сразу применять формулу.

1. Запишем формулу: V = ⅓ Sосн h.
2. Подставим известные значения: V = ⅓ · 18 · 5.
3. Вычислим: 18 · 5 = 90, а 90 : 3 = 30.

Ответ: 30 см³. Кубические сантиметры получились потому, что см² умножили на см.

2. Площадь основания нужно найти

Условие. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 9 см. Здесь площадь основания не дана напрямую, поэтому сначала используем формулу площади прямоугольника. После этого вычислим объём пирамиды.

1. Найдём площадь основания: Sосн = 6 · 8 = 48 см².
2. Подставим площадь и высоту в формулу объёма: V = ⅓ · 48 · 9.
3. Вычислим: 48 · 9 = 432, а 432 : 3 = 144.

Ответ: 144 см³. Площадь основания нельзя подменять одной из его сторон: в формулу объёма входит именно площадь.

3. Высота по объёму и площади основания

Условие. Объём пирамиды равен 80 см³, а площадь основания — 24 см². Требуется найти высоту. Поскольку объём и площадь уже известны, выразим h из формулы, не подставляя вместо него наклонное ребро.

1. Начнём с равенства V = ⅓ Sосн h и выразим высоту: h = 3V / Sосн.
2. Подставим данные: h = 3 · 80 / 24.
3. Вычислим: h = 240 / 24 = 10 см.
4. Проверим подстановкой: ⅓ · 24 · 10 = 80 см³.

Ответ: высота пирамиды равна 10 см. Проверка подтверждает результат и показывает, что найдена именно величина, входящая в формулу как перпендикуляр к основанию.

Типичные ошибки

В формулу иногда подставляют боковое ребро или высоту боковой грани вместо высоты пирамиды. Так происходит потому, что все эти отрезки связаны с вершиной и боковыми гранями, но они не обязательно перпендикулярны основанию. Проверьте, есть ли прямой угол между найденным отрезком и плоскостью основания; нужен именно такой перпендикуляр.

Если забыть множитель ⅓, получится V = Sосн h — это объём призмы, а не пирамиды. Ошибку легко допустить, потому что обе формулы используют площадь основания и высоту. Для самопроверки сравните: при одинаковых основании и высоте объём пирамиды должен быть втрое меньше объёма призмы.

Ещё одна ошибка — неверно вычислить площадь основания или подставить вместо неё сторону многоугольника. Перед расчётом объёма определите форму основания и выберите подходящий способ нахождения площади. Проверьте единицу площади и само вычисление: у прямоугольника, например, площадь равна произведению двух сторон, а не одной стороне.

Нельзя без перевода смешивать единицы, например подставлять площадь в м² и высоту в см. Такая подстановка приводит к числу, которое нельзя правильно истолковать как объём в одной системе единиц. Переведите величины в согласованные единицы до вычислений и проверьте, что итог записан в кубических единицах.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь находить площади многоугольников и распознавать перпендикуляр к плоскости. Формула объёма пирамиды опирается на формулу объёма призмы: сравнение этих тел объясняет множитель ⅓. Позже пирамиду можно использовать как часть более сложного тела: формула пригодится при вычислении объёма усечённой пирамиды и многогранников, которые удаётся разбить на пирамиды.

Что запомнить

• Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Формула: V = ⅓ Sосн h.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• Площадь основания зависит от формы многоугольника.
• Если площадь выражена в квадратных единицах, а высота — в линейных, объём получается в кубических единицах.