"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём пирамиды показывает, сколько пространства занимает это тело. Чтобы его найти, нужно знать площадь многоугольника в основании и перпендикулярную высоту — расстояние от вершины до плоскости основания. Главная формула связывает эти величины: V = ⅓ Sосн h. Множитель ⅓ отличает пирамиду от призмы с такими же площадью основания и высотой. Разберём, как находить нужные величины и применять формулу в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём пирамиды — величина, показывающая, сколько пространства занимает пирамида. Его обозначают буквой V и измеряют в кубических единицах, например в см³ или м³. Объём помогает сравнивать вместимость тел и решать задачи о пространстве, которое они занимают.
Основание пирамиды — многоугольник, относительно площади которого записывают формулу объёма. Его площадь обозначают Sосн. Чтобы вычислить объём, сначала нужно найти площадь именно этого многоугольника, используя подходящую формулу для его вида.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её обозначают h. Она измеряет расстояние от вершины до основания по прямому углу, а не длину наклонного бокового ребра. Эта величина входит в формулу объёма вместе с площадью основания.
Объёмная единица — куб, ребро которого равно единице длины, например куб со стороной 1 см. Объём показывает, сколько таких единичных кубов занимает тело. Поскольку единицу длины перемножают трижды, объём измеряется в кубических, а не квадратных единицах.
Теорема об объёме пирамиды утверждает: объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Формула записывается так: V = ⅓ Sосн h. Площадь основания отвечает за размер нижней грани, а высота — за расстояние, на которое тело распространяется вверх. Поэтому обе величины нужны, чтобы оценить занимаемое пирамидой пространство.
Множитель ⅓ можно понять, сравнив пирамиду с призмой. Если у призмы и пирамиды одинаковы площади оснований и высоты, то их объёмы относятся как 3:1. Это связано с тем, что у призмы поперечное сечение сохраняет размер по всей высоте, а у пирамиды сечения становятся меньше по мере приближения к вершине. Поэтому пирамида занимает лишь треть объёма соответствующей призмы.
Формула не зависит от того, стоит ли пирамида прямо над основанием или наклонена в сторону. В обоих случаях высота измеряется перпендикулярно плоскости основания, а наклонные рёбра в расчёт не подставляют. Если площадь основания и перпендикулярная высота одинаковы, объёмы прямой и наклонной пирамид равны. Значит, форма боковых рёбер сама по себе объём не определяет.
Площадь основания нужно найти до применения формулы объёма. Для прямоугольника умножают длины смежных сторон, для квадрата — возводят сторону в квадрат, для треугольника используют половину произведения стороны на проведённую к ней высоту. Если основание — другой многоугольник, его можно разбить на простые фигуры и сложить их площади. Только после этого найденную площадь подставляют вместо Sосн.
Из основной формулы можно выразить неизвестную величину. Если неизвестна высота, умножьте объём на 3 и разделите на площадь основания: h = 3V / Sосн; если неизвестна площадь, Sосн = 3V / h. Перед вычислением полезно привести длины к одним единицам. Например, площадь в см² и высоту в см дают объём в см³, а несогласованные единицы приведут к неверному результату.
| Случай | Площадь основания | Высота | Объём |
|---|---|---|---|
| Пирамида с произвольным многоугольником в основании | Sосн | h | ⅓ Sосн h |
| Пирамида с треугольным основанием | ½ a hₐ | h | ⅙ a hₐ h |
| Пирамида с квадратным основанием | a² | h | ⅓ a² h |
| Пирамида и призма с равными площадями оснований и высотами | У обеих — Sосн | У обеих — h | Vпирамиды = ⅓ Vпризмы |
Сначала определите, какой многоугольник лежит в основании, и выберите формулу его площади. Затем используйте высоту пирамиды, проведённую перпендикулярно к основанию. В последнем случае таблица показывает, как сравнить объёмы пирамиды и призмы.
Площадь основания пирамиды равна 24 см², высота — 9 см. Найдём объём. Площадь уже дана, поэтому вычислять её дополнительно не требуется. Остаётся применить формулу объёма и проверить единицы ответа.
Ответ: 72 см³.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см, высота пирамиды — 12 см. Здесь перед формулой объёма нужно получить площадь основания. У прямоугольника она равна произведению его смежных сторон. После этого остаётся подставить площадь и высоту в формулу.
Ответ: 240 см³.
Объём пирамиды равен 180 см³, а площадь основания — 30 см². Требуется найти высоту, поэтому удобнее сначала выразить её из общей формулы. Умножение на 3 устраняет множитель ⅓, а затем нужно разделить на площадь основания. Проверим найденное значение обратной подстановкой.
Ответ: 18 см.
Подстановка бокового ребра или апофемы вместо высоты — частая ошибка: эти отрезки могут быть наклонными. Её допускают, когда принимают за высоту любой отрезок от вершины к основанию. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол с плоскостью основания; если нет, он не подходит.
Если забыть множитель ⅓, получится формула объёма призмы, а не пирамиды. Такое происходит, когда запоминают произведение площади на высоту, но упускают различие между телами. Для проверки сравните вычисление с формулой V = ⅓ Sосн h: при одинаковых площади и высоте объём пирамиды должен быть втрое меньше объёма призмы.
Нельзя подставлять площадь основания, не найдя её или вычислив неверно. Например, у прямоугольника площадь получают умножением двух сторон, а не их сложением; ошибка часто возникает из-за спешки. Проверьте, что выбрана формула для нужного многоугольника, а площадь записана в квадратных единицах.
Объём нельзя записывать в см² и нельзя смешивать, например, метры с сантиметрами без перевода. Площадь основания умножают на высоту, поэтому единицы длины и площади должны быть согласованы, а результат получается кубическим. Перед ответом проверьте единицы: см² · см = см³.
Для применения формулы нужно уметь находить площади многоугольников и отличать высоту пирамиды от её боковых рёбер. Знание объёма призмы помогает понять, откуда в формуле пирамиды берётся множитель ⅓. Позже эта формула пригодится при вычислении объёмов составных тел и решении стереометрических задач.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется одна треть?
Пирамида и призма с равными площадями оснований и одинаковыми высотами имеют объёмы, относящиеся как 1:3. Поэтому объём пирамиды равен одной трети объёма такой призмы: V = ⅓ Sосн h.
Можно ли использовать в формуле боковое ребро вместо высоты?
Нет, боковое ребро обычно наклонено к плоскости основания и не является высотой. В формулу подставляют только перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания.
Как найти объём пирамиды, если основание — прямоугольник?
Сначала найдите площадь прямоугольника: умножьте длины его смежных сторон. Затем умножьте площадь на высоту пирамиды и разделите результат на 3.
В каких единицах записывают объём пирамиды?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³ или м³. Если длины заданы в сантиметрах, площадь основания должна быть в см², а высота — в сантиметрах.
Как из формулы объёма найти высоту пирамиды?
Из равенства V = ⅓ Sосн h выразите высоту: h = 3V / Sосн. Перед вычислением проверьте, что единицы объёма и площади согласованы.
5.5. Объём пирамиды
