§ 15. Объём пирамиды

Определения и обозначения

Объём пирамиды — величина, показывающая, какую часть пространства занимает пирамида; его вычисляют по формуле V = ⅓·Sосн·h. Иными словами, объём позволяет сравнивать, сколько места занимают разные тела. Для расчёта нужны площадь основания и высота, а не длины всех рёбер.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол и задаёт расстояние между вершиной и основанием. Именно это расстояние определяет объём, поэтому высоту важно отличать от наклонных отрезков.

Площадь основания — площадь многоугольника, лежащего в основании пирамиды; её обозначают Sосн. Для вычисления объёма нужно знать размер всей поверхности основания, а не только его стороны или периметр. Способ нахождения Sосн зависит от формы многоугольника.

Единицы объёма — кубические единицы, соответствующие единицам длины и площади. Если площадь измерена в квадратных сантиметрах, а высота — в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах. Такое обозначение показывает, что перемножены три измерения длины.

Как это устроено

Чтобы получить пирамиду, берут многоугольник и точку, не лежащую в его плоскости, — вершину. Соединяют вершину с каждой вершиной многоугольника, а сам многоугольник становится основанием. Каждая сторона основания вместе с вершиной образует боковую грань, поэтому грани соединяют основание с общей вершиной и замыкают поверхность тела.

На объём влияет высота, то есть перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Боковое ребро идёт от вершины к углу основания, а апофема — высота боковой грани правильной пирамиды; оба отрезка могут быть наклонными к основанию. Если подставить такой отрезок вместо h, произведение площади основания на длину отрезка не будет учитывать действительную высоту тела.

Сравнить пирамиду и призму можно, если у них одинаковы основание и высота. Рассмотрим сечения, параллельные основанию: в пирамиде чем ближе сечение к вершине, тем меньше его линейные размеры. На расстоянии, равном доле высоты, стороны сечения уменьшены в ту же долю, а площадь — в квадрат этой доли. Поэтому площади сечений пирамиды постепенно убывают от основания к вершине, и суммарный объём оказывается втрое меньше объёма соответствующей призмы.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а пирамида с теми же параметрами занимает треть этого объёма. Отсюда получают формулу V = ⅓·Sосн·h. Рассуждение не требует, чтобы основание было треугольником или правильным многоугольником: для любой формы важна его площадь, а не конкретный способ вычисления этой площади.

Перед подстановкой проверьте, в каких единицах даны длины и площадь. Например, если длина стороны указана в метрах, а высота — в сантиметрах, сначала переведите одну величину, чтобы единицы были согласованы. При основании в см² и высоте в см ответ будет в см³; переводить кубические единицы нужно отдельно, учитывая, что при изменении единицы длины в несколько раз объём меняется в кубе этого числа.

Объём пирамиды: обозначения, формулы и зависимости

Сначала определите площадь основания и высоту, затем выберите строку с формулой объёма пирамиды. Если неизвестна высота или площадь, преобразуйте основную формулу, сохраняя согласованные единицы. Строка о призме помогает проверить множитель ⅓.

Разбор задач

Квадратное основание

Основание пирамиды — квадрат со стороной 6 см, высота пирамиды равна 10 см. Найдите объём. Сначала вычислим площадь квадрата, затем подставим её и высоту в формулу. Все данные уже выражены в сантиметрах, поэтому дополнительных преобразований не требуется.

1. Найдём площадь основания: Sосн = 6² = 36 см².
2. Подставим значения: V = ⅓·36·10 = 120 см³.

Ответ: 120 см³. Полученный результат записан в кубических сантиметрах, поскольку площадь была в см², а высота — в см. Множитель ⅓ учитывает отличие пирамиды от призмы с теми же основанием и высотой.

Треугольное основание

Основание пирамиды — треугольник с основанием 8 см и высотой 5 см, высота пирамиды равна 9 см. Здесь даны две разные высоты: 5 см относится к треугольному основанию, а 9 см — к самой пирамиде. Сначала найдём площадь треугольника по его основанию и высоте, после чего используем формулу объёма.

1. Вычислим площадь основания: Sосн = ½·8·5 = 20 см².
2. Подставим её и высоту пирамиды: V = ⅓·20·9 = 60 см³.

Ответ: 60 см³. Не следует подставлять 5 см вместо высоты пирамиды: это высота треугольника, которая нужна только для расчёта Sосн. В формулу объёма входит высота 9 см, перпендикулярная плоскости основания.

Найти высоту по объёму

Объём пирамиды равен 240 см³, площадь основания — 36 см². Требуется найти высоту. Поскольку неизвестна высота, преобразуем формулу, умножив обе части равенства V = ⅓·Sосн·h на 3 и разделив на Sосн.

1. Выразим высоту: h = 3V/Sосн.
2. Подставим известные величины: h = 3·240/36 = 20 см.
3. Проверим единицы: см³ / см² = см.

Ответ: 20 см. Проверка подстановкой даёт V = ⅓·36·20 = 240 см³, как и указано в условии. Совпадение подтверждает вычисление и соответствие единиц.

Типичные ошибки

Вместо высоты подставляют боковое ребро или апофему, потому что эти отрезки тоже выходят из вершины или связаны с ней. Но наклонный отрезок не задаёт перпендикулярное расстояние до плоскости основания. Проверьте, образует ли выбранная высота прямой угол с основанием; если нет, это не h в формуле объёма.

Забывают множитель ⅓ и получают объём призмы с теми же основанием и высотой. Ошибка возникает, когда формулу призмы переносят на пирамиду, не учитывая различие между телами. Для самопроверки сравните: при одинаковых Sосн и h объём пирамиды должен составлять треть объёма призмы.

Подставляют периметр основания вместо его площади. Периметр показывает суммарную длину сторон, а формула объёма требует площадь многоугольника. Перед вычислением проверьте обозначение и единицы: площадь выражается в квадратных единицах, например см², а периметр — в линейных.

Смешивают единицы длины либо записывают объём в квадратных единицах. Например, при площади в м² и высоте в см сначала нужно привести величины к согласованным единицам; после перемножения площади и высоты ответ должен быть кубическим. Проверка размерности проста: м² · м = м³, см² · см = см³.

Связь с другими темами

Для работы с объёмом пирамиды нужно знать её основание, вершину, боковые грани и высоту, а также уметь находить площади основных многоугольников. Формула опирается на знакомую формулу объёма призмы и сравнение фигур по параллельным сечениям. Позже тот же подход поможет разбираться с объёмом конуса и усечённой пирамиды, а формула пирамиды пригодится при вычислении объёма составных тел.

Что запомнить

• Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Формула: V = ⅓·Sосн·h.
• Высота пирамиды — перпендикуляр к плоскости основания.
• В формулу входит площадь основания, а не его периметр.
• При одинаковых основании и высоте объём пирамиды втрое меньше объёма призмы.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• Перед вычислением выразите величины в согласованных единицах.