§ 14. Принцип Кавальери

Определения и обозначения

Принцип Кавальери для плоских фигур утверждает: если две фигуры находятся между одними и теми же параллельными прямыми и на каждой прямой, параллельной этим границам, внутри фигур получаются отрезки одинаковой длины, то площади фигур равны. Сравнивать нужно отрезки на одинаковой высоте, а не произвольные сечения. Такой способ позволяет установить равенство площадей даже у фигур разной формы.

Принцип Кавальери для тел формулируется так: если тела заключены между одними и теми же параллельными плоскостями, а в каждой плоскости, параллельной им, площади сечений тел равны, то объёмы тел равны. Плоскости берут на соответствующих уровнях между границами. Это даёт возможность сравнивать тела, не раскладывая их на отдельные части.

Поперечное сечение тела — фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью. Площадь сечения показывает, сколько места занимает тело в выбранном срезе. Для применения принципа рассматривают сечения параллельными плоскостями и сравнивают их площади на одинаковом уровне.

Равновеликие фигуры — фигуры с равными площадями, а равновеликие тела — тела с равными объёмами. Это не означает, что фигуры или тела одинаковы по форме. Термин нужен, чтобы отделить сравнение размера от сравнения внешнего вида.

Как это устроено

Общий замысел принципа — судить о целом по его сечениям. В плоском случае вместо площади всей фигуры сравнивают длины отрезков на соответствующих уровнях, а в пространственном — площади сечений. Если на каждом уровне сравниваемые части одинаковы по размеру, то различия формы не приводят к различию общей площади или объёма. Так геометрическое сравнение заменяет прямое вычисление.

Для плоских фигур границы задают одной парой параллельных прямых, чтобы высота каждого сравниваемого отрезка отсчитывалась одинаково. Если отрезки внутри двух фигур равны на каждой параллельной прямой, то на всех уровнях фигуры занимают одинаковую ширину. Именно это соответствие позволяет перенести равенство отдельных срезов на равенство площадей целиком. Без общих граничных прямых уровни могли бы не совпасть.

В пространстве роль высоты играет расстояние между двумя параллельными граничными плоскостями. На каждой промежуточной плоскости рассматривают поперечные сечения обоих тел и сравнивают их площади. Равенство требуется для каждой такой плоскости, поскольку разные участки тела могут иметь разную ширину и форму. При одинаковых площадях сечений на всей высоте объёмы оказываются равными.

Принцип особенно полезен, когда сложное тело неудобно разбивать на простые части, но можно подобрать тело с известной формулой объёма. Сначала выбирают параллельные сечения, для которых площади легко выразить или увидеть равными. Затем применяют принцип и используют известную формулу для второго тела. Аналогично для плоской фигуры можно подобрать фигуру знакомой площади и сравнить длины отрезков на соответствующих уровнях.

Несколько совпавших сечений не дают такого вывода: между ними площади могут меняться по-разному. Например, равные площади оснований ещё не сообщают, как устроены промежуточные срезы. Поэтому условие проверяют на всех параллельных прямых или плоскостях между общими границами. Только тогда сравнение действительно охватывает всю фигуру или тело.

Два варианта принципа Кавальери

Пользуйся таблицей, чтобы определить, какую величину нужно сравнивать: длину отрезка или площадь сечения. Затем проверь, что фигуры либо тела заключены между общими параллельными границами. Наконец, убедись, что равенство выполняется на каждом соответствующем уровне.

Разбор задач

Прямоугольник и параллелограмм

Сравним прямоугольник и параллелограмм с основанием длины a и высотой h. Пусть обе фигуры расположены между двумя параллельными прямыми, содержащими их основания. Для прямоугольника и параллелограмма проведём прямые, параллельные основаниям, и сравним полученные отрезки.

1. На любом уровне между основаниями прямая пересекает прямоугольник по отрезку длины a.
2. В параллелограмме сдвиг верхнего основания меняет положение отрезка, но не его длину: каждый такой срез тоже имеет длину a.
3. Отрезки совпадают по длине на всех уровнях, а фигуры заключены между одной парой параллельных прямых. По плоскому принципу Кавальери их площади равны.

Ответ: площади обеих фигур равны ah.

Наклонная и прямая призмы

Рассмотрим наклонную и прямую призмы равной высоты с равными по площади основаниями. Нужно доказать равенство объёмов, не предполагая, что сами призмы имеют одинаковую форму. Сечения плоскостями, параллельными основаниям, дают нужные уровни для применения принципа.

1. Возьмём произвольную плоскость между основаниями, параллельную им.
2. В каждой призме такое сечение равно основанию по площади: при переносе вдоль высоты форма сечения не меняется, хотя у наклонной призмы оно сдвигается в сторону.
3. Площади сечений на выбранном уровне равны площадям равных оснований. Поскольку уровень был произвольным, сечения равны по площади на всей высоте.

Обе призмы лежат между параллельными плоскостями на одинаковом расстоянии, поэтому по принципу Кавальери их объёмы равны. Ответ: объёмы призм равны.

Объём шара

Сравним шар радиуса R с цилиндром радиуса R и высоты 2R, из которого удалены два конуса. Их основания совпадают с основаниями цилиндра, а общая вершина находится в центре. Обозначим через x расстояние от центра шара до выбранной плоскости сечения; здесь 0 ≤ x ≤ R.

1. По сечению шара получаем круг радиуса √(R² − x²), поэтому его площадь равна π(R² − x²).
2. На том же уровне сечение цилиндра — круг площади πR². Сечение каждого конуса, расположенного по эту сторону центра, имеет радиус x и площадь πx²; после удаления конусов остаётся площадь πR² − πx².
3. Выражения равны: π(R² − x²) = πR² − πx². На противоположной стороне центра срез симметричен, значит площади совпадают на всех уровнях.
4. По принципу Кавальери объём шара равен объёму оставшегося тела: из объёма цилиндра вычитаем объёмы двух конусов. Получаем 2πR³ − 2 · ⅓πR³ = 4/3πR³.

Ответ: объём шара радиуса R равен 4/3πR³.

Типичные ошибки

Сравнивать сечения лишь на нескольких выбранных уровнях недостаточно: между ними площади могут быть разными. Так ошибаются, принимая отдельные проверки за доказательство для всего тела. Проверь себя: в обосновании должно быть указано, почему равенство верно для произвольной параллельной плоскости.

Иногда забывают, что фигуры или тела должны находиться между одной и той же парой параллельных прямых или плоскостей. Без общих границ нельзя однозначно сопоставить уровни. Проверь, что начало и конец сравниваемых срезов относятся к одинаковым граничным линиям или плоскостям.

Равенство площадей оснований не доказывает равенства объёмов: промежуточные сечения могут отличаться. Эту ошибку допускают, перенося свойства призмы на тела другой формы. Чтобы проверить вывод, сравни площади сечений не только у оснований, но и на произвольном промежуточном уровне.

Равные сечения не означают, что сами тела одинаковы по форме. Принцип даёт равенство объёмов, а не тождественность тел; сечения могут быть расположены и ориентированы по-разному. Проверь, какой именно вывод требуется: одинаковый результат измерения не означает совпадения геометрических объектов.

Связь с другими темами

Для работы с принципом нужны понятия площади плоской фигуры, объёма тела и сечения многогранника плоскостью. Умение находить площадь сечения помогает сформулировать сравнение для каждого уровня. Затем принцип Кавальери связывает эти локальные измерения с площадью или объёмом всего объекта.

Принцип используют при обосновании формул объёмов цилиндра, конуса и шара, а также при сравнении тел сложной формы. Он особенно удобен, когда одно тело имеет сечения той же площади, что и тело с уже известным объёмом. Тогда вычисление сводится к выбору подходящего сравнения.

Что запомнить

• Плоский вариант принципа сравнивает длины параллельных отрезков.
• Пространственный вариант сравнивает площади параллельных сечений.
• Сечения должны совпадать по соответствующим уровням на всей высоте фигуры или тела.
• Сравниваемые фигуры заключены между одной парой параллельных прямых.
• Сравниваемые тела заключены между одной парой параллельных плоскостей.
• Равные соответствующие сечения дают равные площади фигур или объёмы тел.