§ 38. Принцип Кавальери

Определения и обозначения

Принцип Кавальери — правило, по которому объёмы двух тел равны, если тела имеют одинаковую высоту и площади их соответствующих сечений равны на всех уровнях. Соответствующими называют сечения, проведённые на одинаковом расстоянии от одной и той же граничной плоскости. Определение нужно, чтобы сравнивать объёмы даже у тел, форма которых различается.

Сечение тела — плоская фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью. В задаче о принципе Кавальери рассматривают сечения плоскостями, проходящими на разных высотах и параллельными выбранной плоскости. Такие фигуры показывают, как меняется форма и размер тела от основания к вершине или другой границе.

Площадь сечения — площадь полученной плоской фигуры; её часто обозначают S. Сравнивают площади сечений двух тел, взятых на одинаковом уровне и в одном направлении. Это позволяет оценить, одинаковое ли количество пространства занимают слои тел на всей их высоте.

Высота тела — расстояние между параллельными плоскостями, между которыми тело расположено. Для сравнения по принципу Кавальери высоты тел должны совпадать. Иначе одинаковому расстоянию от основания могут соответствовать разные части тел, и условия сравнения нарушатся.

Как это устроено

Принцип Кавальери утверждает: если тела расположены между одной парой параллельных плоскостей, а площади их сечений всеми промежуточными плоскостями, параллельными этой паре, равны на соответствующих уровнях, то объёмы тел равны. Одинаковое положение задаёт для обоих тел одну и ту же высоту. Равенство сечений на каждом уровне означает, что при любом продвижении от одной границы к другой мы сравниваем слои одинаковой площади.

Одних оснований для сравнения недостаточно, потому что основание сообщает только площадь сечения на краю тела. Между основаниями форма может меняться по-разному: одно тело может сужаться, а другое сохранять ширину или расширяться. Эти различия определяют площади промежуточных слоёв, поэтому могут привести к разным объёмам даже при одинаковых основаниях и высоте.

Геометрически тела можно представить разделёнными на очень тонкие слои одинаковой толщины. Если на каждом уровне площади сечений совпадают, то соответствующие тонкие слои имеют одинаковые объёмы: объём тонкого слоя приблизительно равен площади сечения, умноженной на его толщину. Чем тоньше слои, тем точнее такое сравнение описывает всё тело. Поэтому равенство площадей на всей высоте приводит к равенству объёмов.

Для применения принципа нужно выбрать одно направление сечений и проводить сечения обоих тел параллельно одной и той же плоскости. Кроме того, тела должны помещаться между одной парой параллельных плоскостей, то есть иметь одинаковую высоту. Если площади равны лишь на отдельных уровнях или только у оснований, условие принципа не выполнено, и делать вывод об объёмах нельзя.

На практике принцип помогает заменить сложное тело более простым, объём которого уже известен. Сначала для выбранной высоты находят площадь сечения сложного тела, затем подбирают тело, у которого на каждом соответствующем уровне получается такая же площадь. Если высоты совпадают и равенство сечений доказано для всех уровней, объём сложного тела равен объёму подобранного тела. Так можно обосновать формулы, которые трудно получить прямым разбиением.

Как сравнивать объёмы по принципу Кавальери

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала убедитесь, что тела находятся между одной парой параллельных плоскостей. Затем сравните сечения на всех соответствующих уровнях, а не только основания. Вывод о равенстве объёмов допустим, только если выполнены оба условия.

Разбор задач

Задача 1. Два тела одинаковой высоты расположены между параллельными плоскостями. Площади их сечений плоскостями, параллельными этим плоскостям, равны на каждой соответствующей высоте. Сравнить объёмы тел.

1. Установим, что тела находятся между одной парой параллельных плоскостей; значит, их высоты одинаковы.
2. По условию площади сечений равны на каждом совпадающем уровне, а не только у оснований.
3. Все условия принципа Кавальери выполнены, поэтому объёмы тел равны.

Ответ: объёмы тел равны. Здесь не нужно знать их форму или вычислять объёмы отдельно: достаточно проверить все условия принципа.

Задача 2. Прямая и наклонная призмы имеют одинаковую высоту и равные площади оснований. Объяснить, почему их объёмы равны.

1. Расположим призмы между параллельными плоскостями оснований. Их высоты одинаковы, поэтому расстояние между граничными плоскостями совпадает.
2. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, равно основанию по площади. Это верно и для прямой, и для наклонной призмы: параллельное сечение получается переносом основания и сохраняет его форму и площадь.
3. Площади оснований равны, следовательно, площади соответствующих сечений призм равны на любой высоте. Применяем принцип Кавальери.

Ответ: объёмы призм равны. Наклон боковых рёбер меняет форму призмы, но не площади параллельных основанию сечений.

Задача 3. С помощью принципа Кавальери получить формулу объёма шара радиуса R. Сравним шар с цилиндром радиуса R и высоты 2R, из которого удалены два конуса с общей вершиной в центре цилиндра.

1. Выберем горизонтальное сечение на высоте x от центра, где −R ≤ x ≤ R. По теореме Пифагора радиус сечения шара равен √(R² − x²), поэтому площадь круга составляет π(R² − x²).
2. Радиус сечения цилиндра равен R. В каждом из двух удалённых конусов радиус сечения на этой высоте равен |x|, поэтому из площади сечения цилиндра вычитается πx².
3. У оставшейся части цилиндра площадь сечения равна πR² − πx² = π(R² − x²), как и у шара. Высоты тел одинаковы, значит, по принципу Кавальери их объёмы равны.
4. Объём цилиндра равен 2πR³. Каждый конус имеет высоту R и объём ⅓πR³, поэтому после удаления двух конусов остаётся 2πR³ − ⅔πR³ = ⁴⁄₃πR³.

Ответ: объём шара равен ⁴⁄₃πR³. Главное в сравнении — показать равенство площадей сечений для каждого уровня, а затем использовать уже известные формулы цилиндра и конуса.

Типичные ошибки

Считать равенство оснований достаточным. Это ошибка, потому что площади сечений внутри тел могут меняться неодинаково. Её допускают, сосредоточившись только на крайних фигурах. Проверьте, сравниваются ли площади на всех уровнях; если известны лишь основания, вывод об объёмах делать нельзя.

Проводить сечения в разных направлениях. Тогда фигуры не соответствуют условию принципа, даже если их площади случайно совпали. Ошибка возникает, когда каждое тело рассматривают отдельно и выбирают удобную плоскость. Для проверки отметьте одну выбранную плоскость и убедитесь, что все сечения обоих тел ей параллельны.

Забывать о равенстве высот. Принцип сравнивает тела между одной парой параллельных плоскостей, а значит, их высоты должны совпадать. Иногда одинаковые площади сечений принимают за достаточное условие, не проверяя положение тел. Перед сравнением проверьте, что у обоих тел одни и те же граничные плоскости.

Сравнивать сечения на разных высотах. Площадь одного сечения нужно сопоставлять с площадью другого, взятого на таком же расстоянии от одной граничной плоскости. Иначе сравниваются разные слои, даже если площади совпали. Проверьте уровни с помощью общей отметки высоты x для обоих тел.

Связь с другими темами

Для работы с принципом Кавальери нужно понимать, что такое объём тела и сечение, уметь находить площади плоских фигур и объёмы призмы, цилиндра и конуса. Площадь сечения связывает пространственное тело с уже знакомыми плоскими фигурами, поэтому важно уверенно вычислять площади кругов и многоугольников. Высота задаёт уровень, на котором сравнивают эти фигуры.

Принцип используют, чтобы обосновывать формулы объёмов и сравнивать тела, когда прямой расчёт неудобен. Например, объём шара находят, сопоставляя его с частью цилиндра, оставшейся после удаления конусов. Так известные формулы для цилиндра и конуса помогают получить формулу для нового тела.

Что запомнить

• Сечения сравнивают плоскостями, параллельными одной и той же плоскости.
• Сечения должны соответствовать друг другу по высоте.
• Равенство площадей оснований само по себе недостаточно.
• При одинаковой высоте и равных площадях всех соответствующих сечений объёмы равны.
• Принцип помогает сравнивать тела разной формы.
• Для применения принципа нужно проверить все его условия.