"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Объём показывает, сколько места тело занимает в пространстве. Его измеряют единичными кубами, поэтому единицы объёма являются кубическими. Для цилиндра объём находят как произведение площади основания на высоту: V = πR²h. Формула позволяет вычислять объём, радиус основания или высоту, если остальные величины известны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько места тело занимает в пространстве. За единицу объёма принимают куб, ребро которого равно единице длины. Например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Это определение помогает сравнивать вместимость разных тел.
Равновеликие тела — тела, имеющие одинаковые объёмы. Их форма при этом может быть совершенно разной: например, прямоугольный параллелепипед и цилиндр могут занимать одинаковое пространство. Понятие нужно, чтобы находить объём сложного или неудобного тела через более простое.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными параллельными кругами и боковой поверхностью. Круги называют основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой и обозначают h. Радиус основания обычно обозначают буквой R.
Объём цилиндра — объём тела, равного по объёму призме с таким же основанием и высотой. Поэтому объём цилиндра находят через площадь его основания и высоту. Для кругового основания эта связь приводит к формуле V = πR²h. Буква V обозначает объём.
Объём измеряют сравнением тела с единичным кубом: выясняют, сколько таких кубов можно мысленно или реально разместить внутри тела. Если единицу длины заменить, например, с сантиметра на метр, меняется длина каждого из трёх измерений куба. Поэтому коэффициент пересчёта повторяется три раза: 1 м³ = 100³ см³ = 1 000 000 см³. Именно третья степень показывает, что речь идёт об объёме, а не о длине или площади.
Объём обладает свойством аддитивности: если тело разделить на части без перекрытий, общий объём равен сумме объёмов этих частей. Это следует из того, что единичные кубы, заполняющие разные части, не считаются дважды. Есть и свойство сохранения: при переходе от тела к равновеликому телу число единичных кубов остаётся тем же. Поэтому форму можно заменить более удобной, не меняя объём.
Чтобы вычислить объём цилиндра, его сопоставляют с призмой, у которой площадь основания и высота такие же. Слои цилиндра и призмы на одинаковой высоте занимают одинаковые площади, поэтому при сложении всех слоёв получается одинаковое количество пространства. Значит, цилиндр и такая призма равновелики. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, поэтому V = Sоснh справедливо и для цилиндра.
Основание цилиндра является кругом, а площадь круга равна πR². Подставляя эту площадь в формулу V = Sоснh, получаем V = πR²h. Здесь R — радиус основания, а h — перпендикулярное расстояние между основаниями. Если известны объём и радиус, высоту находят так: h = V/(πR²); если известны объём и высота, то R = √(V/(πh)).
| Характеристика | Тело в общем случае | Цилиндр |
|---|---|---|
| Смысл объёма | Количество пространства, занимаемого телом | Количество пространства внутри цилиндра |
| Формула вычисления | Зависит от формы тела; для составного тела объёмы частей складывают | V = πR²h |
| Какие размеры нужны | Размеры, определяющие форму и масштаб тела | Радиус основания R и высота h |
| Единицы измерения | Кубические: мм³, см³, м³ | Кубические: см³, м³, л |
Сначала определите форму тела и величины, которые известны в условии. Для цилиндра достаточно найти радиус основания и перпендикулярную высоту. Последнюю строку таблицы проверяйте в конце решения: единицы должны быть кубическими и согласованными.
Если тело состоит из нескольких частей, применяйте свойство аддитивности. Объёмы частей складывают, а при вырезе или пустоте вычитают. Таблица помогает выбрать подходящую формулу и не перепутать необходимые размеры.
Найти объём цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 5 см. Все данные уже выражены в сантиметрах, поэтому результат получится в кубических сантиметрах.
Ответ: 45π см³.
Объём цилиндра равен 72π см³, а высота — 8 см. Нужно найти радиус основания, поэтому неизвестную величину сначала выделим из основной формулы.
Ответ: 3 см. Проверка: π · 3² · 8 = 72π см³.
Цилиндрический сосуд радиусом 10 см заполнен водой на высоту 12 см. Сначала найдём объём воды, а затем переведём его из кубических сантиметров в литры, используя 1 л = 1000 см³.
Ответ: 1200π см³, или примерно 3,77 л.
Диаметр вместо радиуса. Ошибка появляется, когда известный диаметр сразу подставляют в V = πR²h. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому сначала нужно записать R = d/2. Проверка: радиус должен быть меньше диаметра в два раза.
Забывают квадрат радиуса. Иногда записывают πR вместо площади круга, хотя площадь равна πR². Из-за этого объём получается в несколько раз меньше правильного. Проверьте, что после подстановки радиус возведён в квадрат.
Путают высоту и образующую. В наклонном цилиндре образующая может быть наклонной, а высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями. Подстановка длины образующей допустима только в специальном случае прямого цилиндра, когда эти отрезки совпадают. Проверьте направление высоты относительно плоскостей оснований.
Используют квадратные единицы. Объём нельзя записывать в см² или м², потому что эти единицы относятся к площади. Кроме того, сантиметры и метры перед вычислением нужно привести к одной системе. В конце убедитесь, что единица имеет третью степень.
Для вывода формулы цилиндра нужно знать площадь круга S = πR². Также пригодятся свойства степеней, поскольку радиус возводят в квадрат, а единицу длины — в куб. Эти знания связывают планиметрию с измерением пространственных тел.
Формула цилиндра служит основой для изучения объёмов других тел, в том числе конуса и шара. Во многих формулах сравнивают тело с цилиндром или используют его основание и высоту. Поэтому умение выделять радиус и перпендикулярную высоту переносится на новые темы.
Свойство сложения объёмов используется в задачах на составные тела. Фигуру разбивают на цилиндры, призмы и другие простые части, находят их объёмы и складывают или вычитают. Такой приём встречается также в прикладных задачах о сосудах, деталях и вместимости.
Почему объём цилиндра вычисляют так же, как объём призмы?
У цилиндра и соответствующей призмы одинаковы площадь основания и высота. По свойству объёма такие тела имеют одинаковый объём, поэтому для цилиндра используют произведение площади основания на высоту.
Что в формуле объёма цилиндра обозначают R и h?
R — радиус кругового основания цилиндра. h — высота, то есть перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.
Можно ли подставить в формулу диаметр основания вместо радиуса?
Нельзя: в формуле V = πR²h используется радиус. Если известен диаметр d, сначала нужно найти радиус: R = d/2.
Почему единицы объёма должны быть кубическими?
Объём сравнивают с единичным кубом, у которого три измерения имеют одну и ту же единицу длины. Поэтому результат записывают в кубических единицах: см³, м³ и так далее.
Как найти радиус цилиндра, если известны его объём и высота?
Из формулы V = πR²h получают R² = V/(πh). Затем находят положительный корень: R = √(V/(πh)), поскольку радиус не может быть отрицательным.
§ 37. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра
