"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Объём показывает, сколько пространства занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Чтобы найти объём цилиндра, достаточно знать площадь его основания и высоту: эти величины перемножают. Для основания-круга радиуса r получается формула V = πr²h. Она помогает решать задачи о цилиндрах и понимать, почему форма тела не всегда мешает сравнивать их объёмы: в этом помогает принцип Кавальери, связывающий объём с площадями сечений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём пространственной фигуры — величина, показывающая, сколько пространства занимает тело. Его выражают в кубических единицах: например, в см³ или м³. Это позволяет сравнивать вместимость тел и рассчитывать, сколько вещества может их заполнить.
Равновеликие тела — тела, объёмы которых одинаковы, даже если их формы различаются. Например, один и тот же объём может иметь тело с ровными гранями или округлая фигура. Понятие помогает сравнивать тела не только по внешнему виду, но и по занимаемому ими пространству.
Объём цилиндра — величина, характеризующая пространство, занимаемое цилиндром. Обозначают объём буквой V. Зная его, можно, например, определить вместимость цилиндрического сосуда или сравнить цилиндр с другими телами.
Площадь основания цилиндра обозначают Sосн, а высоту — h. Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями двух оснований, а не обязательно длина боковой линии. Эти две величины входят в формулу V = Sоснh: площадь показывает размер основания, а высота — протяжённость тела.
Чтобы измерять пространство, занимаемое телом, выбирают единицу объёма. Удобная единица — куб, ребро которого равно одной единице длины: его объём составляет одну кубическую единицу. Тогда объём тела можно понимать как число таких единиц, заполняющих его без промежутков. Поэтому при переходе от сантиметров к кубическим сантиметрам длину нужно возвести в третью степень: 1 м³ = 1 000 000 см³.
Объём подчиняется нескольким свойствам, которые делают вычисления последовательными. Если тела равны, одно можно совместить с другим, поэтому они занимают одинаковое пространство и имеют равные объёмы. Если тело разделено на части, каждая из которых не перекрывает остальные, всё его пространство складывается из объёмов частей. Отсюда следует свойство аддитивности: Vобщ = V₁ + V₂ + … .
Принцип Кавальери позволяет сравнить тела, не разбивая их на маленькие кубы. Представьте, что два тела поставлены на одну плоскость и мы рассматриваем их сечения на одинаковой высоте. Если на каждой такой высоте площади сечений равны, то равны и объёмы тел. Причина в том, что при переходе от одного уровня к другому тела занимают одинаковую площадь каждого слоя; складывая слои по всей высоте, получаем одинаковое пространство.
У цилиндра любой срез плоскостью, параллельной основанию, — круг того же размера, что и основание. Значит, на каждой высоте площадь сечения цилиндра одна и та же. По принципу Кавальери его объём равен объёму тела, у которого такие же площадь основания и высота и которое удобно рассматривать как набор одинаковых слоёв. Поэтому объём цилиндра находят умножением площади основания на высоту: V = Sоснh.
Основание цилиндра — круг радиуса r, а его площадь равна πr². Подставляя это выражение вместо Sосн в формулу объёма, получаем V = πr²h. Радиус здесь нужно возвести в квадрат, поскольку именно квадрат радиуса входит в площадь круга. Если размеры заданы в сантиметрах, результат будет выражен в см³.
| Фигура | Площадь основания | Высота | Объём |
|---|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | Sосн = ab | h = c | V = Sоснh = abc |
| Призма | Sосн — площадь многоугольника | h — расстояние между основаниями | V = Sоснh |
| Цилиндр | Sосн = πr² | h — расстояние между основаниями | V = Sоснh = πr²h |
Сначала найдите площадь основания фигуры, затем умножьте её на высоту. В таблице для прямоугольного параллелепипеда основание имеет стороны a и b, а высота равна третьему измерению c. Для наклонных призмы и цилиндра h — перпендикулярное расстояние между основаниями.
Найдите объём цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 5 см. Известны обе величины, которые нужны в формуле, поэтому достаточно вычислить площадь основания, а затем умножить её на высоту. Сохраняем π в ответе, чтобы не округлять результат без необходимости.
Запишем формулу объёма цилиндра: V = πr²h. В условии r = 3 см и h = 5 см; обе длины выражены в сантиметрах. Это позволит сразу получить объём в см³.
Найдём площадь основания: Sосн = π · 3² = 9π см². Здесь сначала возводим радиус в квадрат, а затем умножаем на π. Теперь умножим площадь на высоту: V = 9π · 5 = 45π см³.
Ответ: 45π см³.
Объём цилиндра равен 100π см³, радиус основания — 5 см. Требуется найти высоту. Неизвестная величина стоит в формуле множителем, поэтому сначала выразим её, а уже затем подставим данные.
Начнём с формулы V = πr²h. Разделим обе части равенства на πr² и получим h = V / (πr²). Такое преобразование оставляет высоту одну в левой части.
Подставим значения: h = 100π / (π · 5²) = 100π / 25π = 4. Множитель π сокращается, а единицы проверяем отдельно: см³ делим на см², поэтому остаются сантиметры. Это соответствует размерности высоты.
Ответ: 4 см.
Цилиндр радиуса основания 6 см и высоты 10 см разделили плоскостью, параллельной основанию, на части высотой 4 см и 6 см. Нужно найти объём каждой части и объяснить, почему их сумма равна объёму целого цилиндра. Обе части сохраняют исходный радиус основания.
Для нижней части высота равна 4 см, поэтому V₁ = π · 6² · 4 = 144π см³. Для верхней части высота равна 6 см, откуда V₂ = π · 6² · 6 = 216π см³. В каждом вычислении используется площадь круга радиуса 6 см, равная 36π см².
Сложим результаты: V₁ + V₂ = 144π + 216π = 360π см³. Для всего цилиндра расчёт по исходной высоте даёт V = π · 6² · 10 = 360π см³. Значения совпали, потому что части не перекрываются и вместе полностью составляют исходное тело.
Ответ: 144π см³ и 216π см³; сумма равна 360π см³ — объёму исходного цилиндра.
Подставляют диаметр вместо радиуса. В формуле V = πr²h нужен радиус, то есть половина диаметра. Путаница возникает потому, что в условии часто дан именно диаметр; чтобы проверить себя, обозначьте его d и сначала запишите r = d / 2.
Забывают возвести радиус в квадрат или умножить на высоту. Тогда неверно вычисляется площадь основания либо объём остаётся равным только площади. Ошибку помогает заметить отдельная запись Sосн = πr², после которой объём находят как Sоснh.
Записывают ответ в квадратных единицах. Площадь основания действительно измеряется в см², но после умножения на высоту в сантиметрах получается см³. Проверьте размерность: см² · см = см³.
Считают, что наклон меняет формулу объёма цилиндра. Положение тела может выглядеть непривычно, поэтому его путают с длиной наклонной боковой линии. В формуле используют площадь основания и перпендикулярное расстояние между основаниями; если они не изменились, объём также не меняется.
Для вычислений понадобятся формула площади круга, понятия площади основания и высоты тела, а также умение переводить единицы длины и объёма. Формула цилиндра служит опорой при изучении объёмов конуса и других тел вращения: в них тоже используют площадь основания и высоту, хотя способ получения формулы может отличаться. Принцип Кавальери связывает объёмы с площадями сечений и помогает обосновывать формулы для пространственных тел.
Почему объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту?
Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными основанию, равны ему по площади. Поэтому по принципу Кавальери цилиндр имеет такой же объём, как прямое тело с теми же основанием и высотой, то есть площадь основания, умноженную на высоту.
Как определить высоту цилиндра, если известны его объём и радиус?
Из равенства V = πr²h выразите высоту: h = V / (πr²). Подставьте объём и радиус в согласованных единицах, а затем проверьте, что результат измеряется в единицах длины.
Можно ли использовать диаметр в формуле объёма цилиндра?
Можно, но сначала диаметр d нужно выразить через радиус: r = d / 2. Тогда формулу можно записать как V = π(d / 2)²h, или V = πd²h / 4.
В каких единицах записывают объём цилиндра?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³, м³ или мм³. Если все размеры заданы в сантиметрах, ответ получится в кубических сантиметрах.
Меняется ли объём цилиндра, если его наклонить?
Само наклонение цилиндра объём не меняет, если сохраняются площадь основания и перпендикулярное расстояние между основаниями. В формуле h обозначает именно это расстояние, а не длину наклонной боковой стороны.
§ 13. Объём фигур в пространстве. Объём цилиндра
