"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Конус — пространственное тело с круглым основанием и вершиной вне его плоскости. Чтобы вычислить, сколько места он занимает, достаточно знать площадь основания и высоту: объём равен трети их произведения. Для конуса с круглым основанием формулу можно записать через радиус. Если высота не дана, её иногда находят по теореме Пифагора, используя радиус и образующую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и основанием. Его можно представить как фигуру с круглым основанием и одной вершиной, соединённой с точками окружности основания отрезками. Форму конуса задают размер основания и положение вершины относительно его плоскости. Этих данных достаточно, чтобы определить его основные линейные элементы.
Основание конуса — круг, лежащий в плоскости основания. Площадь этого круга обозначают буквой B, чтобы не путать её с длинами отрезков. Площадь основания нужна для вычисления объёма: чем больше основание при той же высоте, тем больше места занимает конус. Для кругового основания её можно найти по радиусу.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её обозначают h. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от вершины до плоскости, поэтому высота может проходить не по наклонной боковой поверхности. Она входит в формулу объёма, и заменять её образующей нельзя. Высоту измеряют в единицах длины.
Объём конуса — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую конусом. Объём показывает, сколько места потребовалось бы, например, чтобы заполнить конус сыпучим материалом или жидкостью. Для расчёта используют площадь основания и высоту, а результат выражают в кубических единицах. Так линейные размеры превращаются в меру трёхмерного тела.
При неизменной высоте увеличение площади основания во столько же раз увеличивает объём конуса. Это происходит потому, что все поперечные сечения конуса, параллельные основанию, расширяются вместе с основанием: при увеличении его размеров сечения также становятся больше. Например, если площадь основания удвоить, а высоту оставить прежней, объём тоже удвоится. Поэтому зависимость от B в формуле объёма должна быть прямой.
Множитель ⅓ появляется при сравнении конуса с цилиндром, у которого такое же основание и такая же высота. Цилиндр занимает больший объём, потому что его поперечное сечение по всей высоте сохраняет площадь основания, а сечения конуса постепенно уменьшаются к вершине. Точнее, на одинаковой доле высоты площадь сечения конуса составляет квадрат этой доли от площади основания. Если мысленно сложить площади таких сечений по всей высоте, получится треть объёма цилиндра.
Объём цилиндра с площадью основания B и высотой h равен Bh, поэтому объём конуса составляет треть этой величины. Отсюда общая формула: V = ⅓Bh. Здесь B — площадь основания, а h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Формула подходит не только для круглого основания, но и для конусов с другими основаниями, если речь идёт о соответствующих телах.
У кругового конуса основание — круг, а его площадь равна πr², где r — радиус. Подставив эту площадь вместо B, получаем V = ⅓πr²h. В формуле радиус возведён в квадрат, потому что он входит в выражение для площади круга. Если радиус увеличить вдвое при неизменной высоте, объём станет в четыре раза больше.
В задаче могут быть даны не все величины, нужные для формулы, поэтому сначала выясняют, что именно неизвестно. Например, если известны радиус и образующая l прямого кругового конуса, осевое сечение содержит прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l. По теореме Пифагора h² + r² = l², откуда h = √(l² − r²). После этого найденную высоту подставляют в формулу объёма.
В таблице основания имеют одну и ту же площадь B, а высоты тел одинаковы и равны h. Сравните формулы: для цилиндра объём равен Bh, а для конуса и пирамиды — трети произведения площади основания на высоту. Так видно, что цилиндр в три раза объёмнее каждого из двух других тел при этих условиях.
| Тело | Площадь основания | Объём |
|---|---|---|
| Цилиндр | B | Bh |
| Конус | B | ⅓Bh |
| Пирамида | B | ⅓Bh |
Радиус основания конуса равен 3 см, высота — 4 см. Нужно найти объём. Поскольку основание круглое, используем формулу V = ⅓πr²h. Сначала подставим данные, а затем проверим, что ответ выражен в кубических сантиметрах.
Ответ: 12π см³. В качестве проверки можно оценить результат приближённо: 12π ≈ 37,7. Размерность согласуется с формулой, потому что квадрат радиуса, умноженный на высоту, даёт кубическую единицу.
Объём конуса равен 48π см³, радиус основания — 4 см. Требуется найти высоту, поэтому удобнее преобразовать формулу объёма, а не подбирать значение. В выражении для площади основания радиус нужно возвести в квадрат: B = π · 4² = 16π см². После этого неизвестную высоту можно вычислить делением.
Ответ: 9 см. Множитель π сокращается, поскольку он есть и в объёме, и в площади основания. Для проверки подставим высоту обратно: ⅓ · π · 16 · 9 = 48π см³, что совпадает с условием.
Образующая конуса равна 13 см, радиус основания — 5 см. Чтобы найти объём, сначала определим высоту: образующая наклонена к основанию и не может быть подставлена вместо неё. В осевом сечении высота и радиус образуют катеты прямоугольного треугольника, а образующая является гипотенузой. Затем используем формулу объёма кругового конуса.
Ответ: 100π см³. Проверка по геометрии показывает, что катеты 5 и 12 вместе с гипотенузой 13 образуют прямоугольный треугольник. Значит, высота найдена верно, и её можно использовать в формуле объёма.
Первая ошибка — подставить в формулу образующую вместо высоты. Образующая наклонена к плоскости основания, а высота перпендикулярна ей; их часто путают, потому что обе идут от вершины к основанию. Проверьте чертёж или условие: если дана образующая, выясните, можно ли найти высоту по теореме Пифагора. В формулу объёма подставляйте именно найденную высоту.
Вторая ошибка — забыть множитель ⅓ и получить объём цилиндра с теми же основанием и высотой. Такое происходит, когда формулу конуса запоминают как простое произведение площади основания на высоту. Сверьте ответ с цилиндром: при одинаковых B и h объём конуса должен быть втрое меньше. Если формулы совпали, множитель пропущен.
Третья ошибка — считать площадь основания как πr вместо πr². Путаница возникает из-за похожих формул круга и окружности: πr² — площадь круга, а 2πr — длина окружности. Проверьте размерность: площадь должна измеряться в квадратных единицах. Если после вычисления площади получилась единица длины, формула применена неверно.
Четвёртая ошибка — записать ответ в квадратных единицах, например в см². Объём измеряет пространство в трёх измерениях, поэтому единицы длины в формуле перемножаются так, что получается см³, м³ или другая кубическая единица. Такая ошибка часто появляется, когда проверяют только числовой результат. Перед записью ответа проследите размерности в выражении r²h и убедитесь, что у единицы длины третья степень.
Для работы с объёмом конуса нужны формула площади круга и формула объёма цилиндра: первая помогает выразить B через радиус, а вторая объясняет сравнение тел с одинаковыми основанием и высотой. Также важно различать радиус, высоту и образующую, поскольку это разные отрезки. Теорема Пифагора позволяет восстановить высоту, если известны радиус и образующая. Формула конуса пригодится в задачах на объёмы составных тел и тел вращения, где конус выступает частью более сложной фигуры.
Почему объём конуса составляет треть объёма цилиндра?
Конус и цилиндр с одинаковыми основанием и высотой имеют объёмы, отношение которых равно 1:3. Это следует из принципа Кавальери: на любой высоте площади параллельных основанию сечений конуса составляют треть площади соответствующего сечения цилиндра.
Как отличить высоту конуса от его образующей?
Высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания, поэтому она образует с этой плоскостью прямой угол. Образующая — наклонный отрезок от вершины до точки окружности основания; обычно она длиннее высоты.
Как найти объём конуса, если дана образующая?
Если известен радиус основания, высоту находят по теореме Пифагора: h = √(l² − r²), где l — образующая, r — радиус. Затем подставляют h и r в формулу V = ⅓πr²h.
Как найти высоту конуса по его объёму и радиусу основания?
Выразите высоту из формулы V = ⅓πr²h: h = 3V/(πr²). Сначала возведите радиус в квадрат, затем вычислите высоту, следя за согласованностью единиц.
В каких единицах записывают объём конуса?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³, м³ или мм³. Если исходные длины даны в сантиметрах, результат будет выражен в кубических сантиметрах.
§ 16. Объём конуса
