3.4. Объем конуса

Определения и обозначения

Объём конуса — величина, показывающая, сколько единичных кубов содержится в конусе; его обозначают буквой V. Проще говоря, объём характеризует, сколько места занимает тело в пространстве. Это понятие позволяет сравнивать конусы между собой и решать практические задачи о вместимости.

Высота конуса h — перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Она измеряет расстояние от вершины до основания по кратчайшему направлению. В формулу объёма входит именно эта высота, а не образующая — наклонный отрезок от вершины до края основания.

Площадь основания конуса Sосн — площадь его круглого основания. Если радиус круга равен r, то Sосн = πr². Эта величина показывает, насколько широко основание, и позволяет учитывать его размер при вычислении объёма.

Формула объёма конуса записывается так: V = ⅓Sоснh = ⅓πr²h. Здесь Sосн — площадь основания, h — высота, r — радиус основания, а π — число пи. Если все длины заданы, например, в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах; единицы площади и длины перемножаются.

Как это устроено

Сравним конус и цилиндр, у которых равны площади оснований и высоты. Цилиндр заполняет всё пространство между двумя параллельными основаниями, а конус сужается от основания к вершине. Оказывается, объём такого конуса составляет треть объёма цилиндра. Поэтому формула конуса отличается от формулы цилиндра множителем ⅓.

Это отношение можно обосновать, сравнивая сечения тел плоскостями, параллельными их основаниям. У цилиндра площадь каждого такого сечения равна площади основания, а у конуса она уменьшается по мере приближения к вершине. Принцип Кавальери утверждает: если у двух тел одинаковой высоты площади сечений на каждом соответствующем уровне равны, то равны и их объёмы. Сравнение сечений конуса и цилиндра приводит к выводу, что объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

Общая формула уже связывает объём с площадью основания: V = ⅓Sоснh. Для круглого основания площадь известна: Sосн = πr². Подставив это выражение вместо Sосн, получаем V = ⅓πr²h. Так одна формула подходит для расчёта через площадь, а другая — когда дан радиус.

Для вычисления объёма нужны размеры, определяющие площадь основания и расстояние до вершины. Радиус задаёт площадь круглого основания, а перпендикулярная высота показывает расстояние между вершиной и плоскостью основания. Образующая не заменяет высоту: при одном и том же значении образующей конусы могут иметь разные радиусы и высоты. Если известна образующая l и радиус r прямого конуса, высоту можно предварительно найти: h = √(l² − r²).

Формулу можно преобразовать, если неизвестна не объём, а одна из величин. Например, из V = ⅓πr²h следует h = 3V/(πr²), а при известной высоте r² = 3V/(πh). Сначала определите, какую величину требуется найти, затем выразите её из формулы и подставьте данные. Следите, чтобы длины были в одинаковых единицах, а объём записывайте в кубических единицах.

Объём конуса и его связь с объёмом цилиндра

Таблица помогает увидеть, какие величины у тел одинаковы, а в чём различаются формулы. Чтобы найти объём конуса, сначала вычислите объём соответствующего цилиндра и разделите его на три. Сравнивайте объёмы только при одинаковых площади основания и высоте.

Разбор задач

Задача 1. Радиус основания конуса равен 3 см, высота — 4 см. Найдём объём. Здесь известны обе необходимые величины, поэтому используем формулу через радиус. Не забудем сначала возвести радиус в квадрат.

1. Записываем формулу: V = ⅓πr²h.
2. Подставляем значения: V = ⅓π · 3² · 4.
3. Вычисляем: 3² = 9, поэтому V = ⅓ · 36π = 12π см³.

Ответ: 12π см³. Единица кубическая, потому что перемножаются три длины. Приближённо объём равен 37,7 см³.

Задача 2. Объём конуса равен 48π см³, радиус основания — 4 см. Найдём высоту. Поскольку неизвестна высота, выразим её из формулы V = ⅓πr²h. При подстановке удобно сократить π в обеих частях равенства.

1. Преобразуем формулу: h = 3V/(πr²).
2. Подставляем данные: h = 3 · 48π/(π · 4²).
3. Сокращаем π и вычисляем: h = 144/16 = 9 см.

Ответ: высота конуса равна 9 см. Проверка: ⅓ · π · 16 · 9 = 48π см³, то есть получен заданный объём. Высота измеряется в сантиметрах, а не в кубических единицах.

Задача 3. Конус и цилиндр имеют равные площади оснований и высоты, а объём цилиндра равен 90 см³. Найдём объём конуса, а затем выясним, что произойдёт при удвоении его высоты и неизменном основании. В первой части задачи достаточно использовать отношение объёмов тел. Во второй — заметить, что площадь основания остаётся прежней.

1. Объём конуса равен трети объёма цилиндра: V = 90/3 = 30 см³.
2. Формула V = ⅓Sоснh показывает прямую зависимость объёма от высоты при неизменном основании.
3. Если высоту увеличить вдвое, объём тоже удвоится: 30 · 2 = 60 см³.

Ответ: сначала объём конуса равен 30 см³, после увеличения высоты — 60 см³. Основание в обоих случаях одно и то же, поэтому меняется только множитель h. Это рассуждение справедливо, когда радиус основания не меняется.

Типичные ошибки

• Подставляют образующую вместо высоты. Так происходит потому, что оба отрезка выходят из вершины конуса, но образующая наклонена к основанию. Проверьте чертёж или условие: в формуле должна стоять длина, перпендикулярная плоскости основания; при наличии только образующей сначала найдите высоту.

• Забывают множитель ⅓ и вычисляют объём конуса как объём цилиндра. Ошибка возникает при переносе формулы V = Sоснh с цилиндра на конус. Для проверки сравните результат с цилиндром тех же размеров: объём конуса должен быть втрое меньше.

• Подставляют диаметр вместо радиуса или не возводят радиус в квадрат. Часто это происходит при прямой подстановке данных в V = ⅓πr²h без отдельного вычисления площади основания. Проверьте, что радиус равен половине диаметра, а в выражении присутствует r².

• Записывают ответ в квадратных единицах или смешивают единицы длины. Такое бывает, если забыть, что объём — результат умножения площади на высоту. Перед ответом проверьте единицы: при размерах в сантиметрах итог должен быть в см³, а все длины сначала нужно привести к одной единице.

Связь с другими темами

Перед вычислениями полезно вспомнить формулу площади круга и научиться различать радиус, диаметр, высоту и образующую конуса. Формула объёма опирается на понятие объёма тела и принцип Кавальери, связывающий объёмы с площадями сечений. Позже эти знания пригодятся при изучении усечённого конуса, объёмов других тел и задач на комбинации тел. Например, сложную фигуру можно разбить на несколько знакомых тел и отдельно вычислить их объёмы.

Что запомнить

• Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• V = ⅓Sоснh.
• Для круглого основания V = ⅓πr²h.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Конус и цилиндр с одинаковыми основанием и высотой относятся по объёмам как 1 : 3.
• Объём выражают в кубических единицах.