§ 4. Объем шара и площадь сферы

Определения и обозначения

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до заданной точки не больше заданного радиуса. Эту точку называют центром, а расстояние до границы — радиусом R. Если точка находится внутри шара, расстояние до центра меньше R; на границе оно равно R. Такое определение помогает отличать весь объёмный объект от его поверхности.

Сфера — поверхность, состоящая из точек пространства, равноудалённых от центра. Расстояние от каждой её точки до центра одинаково и равно R. Сфера служит границей шара: она отделяет точки внутри него от точек снаружи. Это различие подсказывает, какую величину искать в задаче: для шара — объём, для сферы — площадь поверхности.

Объём шара — величина, характеризующая пространство, занимаемое шаром. Его обозначают V, а радиус шара, для которого вычисляют объём, обозначают R. Объём показывает, сколько места занимает тело, и измеряется в кубических единицах, например в см³ или м³. Его нельзя отождествлять с площадью поверхности: это разные характеристики.

Площадь сферы — площадь поверхности, ограничивающей шар; её обозначают S. Она показывает, сколько материала потребовалось бы, чтобы покрыть эту поверхность без учёта толщины покрытия. Площадь измеряют в квадратных единицах, например в см². В отличие от объёма, она описывает не внутреннее пространство, а внешнюю границу шара.

Как это устроено

Радиус задаёт размер шара: если он больше, дальше от центра расположена каждая точка сферы. Диаметр — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки сферы, поэтому он состоит из двух радиусов: d = 2R. Это равенство удобно, когда в условии дан диаметр, а формула требует радиус. Перед вычислениями тогда делят диаметр на два.

Формулу объёма можно понять через сравнение с цилиндром. Возьмём цилиндр радиуса R и высоты 2R, а из него удалим два конуса с радиусом основания R и высотой R; их вершины соприкасаются в середине цилиндра. На расстоянии x от середины сечение оставшейся части имеет площадь π(R² − x²): из площади круга цилиндра вычитается сечение конуса. У шара радиуса R сечение на той же высоте тоже имеет радиус √(R² − x²), а значит, такую же площадь π(R² − x²). По принципу Кавальери тела с одинаковыми площадями соответствующих сечений имеют равные объёмы. Объём цилиндра равен 2πR³, объём двух конусов вместе — 2/3·πR³, поэтому V = 2πR³ − 2/3·πR³ = 4/3·πR³.

Площадь сферы радиуса R равна S = 4πR². Её можно представить как площадь боковой поверхности цилиндра с таким же радиусом и высотой 2R: у цилиндра она равна длине окружности основания, умноженной на высоту, то есть 2πR·2R = 4πR². Равенство площадей сферы и боковой поверхности такого цилиндра устанавливается при разбиении поверхности на тонкие кольцевые полосы: их площади в сумме дают ту же величину. Цилиндр здесь помогает увидеть, откуда берётся выражение, но сфера и цилиндр остаются разными поверхностями.

Если увеличить радиус шара в k раз, все его линейные размеры увеличатся во столько же раз. В формуле объёма радиус стоит в третьей степени, поэтому новый объём равен 4/3·π(kR)³ = k³V. В формуле площади радиус возводится в квадрат, поэтому новая площадь равна 4π(kR)² = k²S. Например, увеличение радиуса вдвое даёт восьмикратный объём и четырёхкратную площадь.

Из формул можно выразить радиус, если известен объём или площадь. Из V = 4/3·πR³ получаем R = ∛(3V/(4π)), а из S = 4πR² — R = √(S/(4π)); выбирают положительный корень, так как радиус положителен. После вычисления проверьте единицы: извлечение кубического корня из объёма в см³ даёт сантиметры, а квадратного корня из площади в см² — тоже сантиметры. Если в ответе на радиус получились квадратные или кубические единицы, значит, где-то допущена ошибка.

Основные величины шара и сферы

Таблица помогает выбрать нужную формулу и не перепутать величину с её единицами. В формулах радиуса и диаметра длина измеряется в единицах длины, объём — в кубических единицах, площадь — в квадратных. Для вычислений по объёму или площади важно использовать один и тот же радиус R.

Разбор задач

Задача 1. Найти объём шара и площадь его сферы, если радиус равен 3 см. Сначала выбираем две формулы: для объёма и площади, потому что требуется найти обе характеристики. Радиус уже дан, поэтому переводить диаметр не нужно. В конце отдельно проверяем квадратные и кубические единицы.

1. Подставим R = 3 см в формулу объёма: V = 4/3·π·3³ = 4/3·π·27 = 36π см³.
2. Подставим тот же радиус в формулу площади: S = 4π·3² = 4π·9 = 36π см².
3. Сверим единицы: объём выражен в см³, а площадь — в см². Одинаковый числовой коэффициент не делает эти величины одинаковыми.

Ответ: V = 36π см³, S = 36π см².

Задача 2. Площадь сферы равна 100π см². Найти радиус шара и его объём. Поскольку радиус напрямую не указан, сначала используем формулу площади, а затем найденное значение подставим в формулу объёма. Такой порядок уменьшает риск подставить в вычисление не ту величину.

1. Запишем формулу площади: 4πR² = 100π. Разделив обе части на 4π, получим R² = 25.
2. Берём положительный корень: R = 5 см. Отрицательное значение не подходит, потому что радиус — длина.
3. Вычислим объём: V = 4/3·π·5³ = 4/3·π·125 = 500π/3 см³. Проверим размерность: куб сантиметров соответствует объёму.

Ответ: R = 5 см, V = 500π/3 см³.

Задача 3. Радиусы двух шаров относятся как 2:3. Найти отношение их объёмов и площадей сфер. Точные длины радиусов знать не требуется: в формулах достаточно сравнить степени отношения. Обозначим радиусы как 2x и 3x, где x — общий множитель; при делении соответствующих величин он сократится.

1. Для объёмов отношение равно (2x)³:(3x)³ = 8x³:27x³ = 8:27. Значит, объём второго шара больше в 27/8 раза.
2. Для площадей отношение равно (2x)²:(3x)² = 4x²:9x² = 4:9. Площадь сферы второго шара больше в 9/4 раза.
3. Проверим, что для объёма использовали куб отношения радиусов, а для площади — квадрат. Эти степени следуют из формул и не зависят от значения x.

Ответ: объёмы относятся как 8:27, площади сфер — как 4:9.

Типичные ошибки

• Путать шар и сферу — значит считать поверхность телом или, наоборот, приписывать телу только его границу. Эту ошибку допускают, потому что в обычной речи слова нередко используют как синонимы. Проверьте, что требуется найти: вместимость относится к объёму шара, а покрытие поверхности — к площади сферы. Сверка с единицами также помогает различить ответы.

• Подстановка диаметра вместо радиуса завышает результат, потому что формулы записаны через R. Ошибка возникает, когда в условии дан диаметр и его принимают за радиус. Перед вычислением проверьте, какая величина обозначена в формуле, и при необходимости найдите R = d/2. Для контроля можно убедиться, что радиус вдвое меньше диаметра.

• Если забыть куб в формуле объёма или квадрат в формуле площади, зависимость от размера шара будет посчитана неверно. Обычно так происходит при запоминании формул только по коэффициенту перед π. Запишите сначала V = 4/3·πR³ и S = 4πR², а затем подставляйте значение R. Быстрая проверка: при масштабировании радиуса объём меняется в третьей степени, площадь — во второй.

• Квадратные единицы для объёма или кубические для площади показывают, что перепутаны характеристики либо пропущена проверка. Это происходит, когда единицы приписывают только в самом конце вычислений. Сопоставьте их с тем, что измеряется: объём занимает три измерения, площадь поверхности — два. Поэтому для радиуса в сантиметрах ответ на объём записывают в см³, а на площадь — в см².

Связь с другими темами

Для работы с шаром нужны понятия радиуса и диаметра, а также формулы площади круга и длины окружности: они встречаются при рассмотрении сечений шара и цилиндра. Принцип Кавальери объясняет сравнение объёмов по площадям сечений и помогает понять вывод формулы объёма шара. Эти формулы применяют в задачах о телах вращения и составных телах, части которых могут быть шарами или сферами. Степенные зависимости позволяют оценивать, как меняются объём и площадь при масштабировании.

Что запомнить

• Шар — тело, сфера — его граница.
• Диаметр шара равен двум радиусам: d = 2R.
• Объём шара: V = 4/3·πR³.
• Площадь сферы: S = 4πR².
• При увеличении радиуса в k раз объём увеличивается в k³ раз.
• При увеличении радиуса в k раз площадь сферы увеличивается в k² раз.