"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Шар — пространственное тело, а его объём и объёмы отдельных частей можно выразить через радиус, высоту и размеры сечений. Для целого шара используют формулу 4⁄3·πR³, для сегмента, слоя и сектора — специальные формулы. Чтобы выбрать нужную, сначала определяют по рисунку или условию, какая именно часть шара рассматривается, затем проверяют, что длины и единицы измерения указаны согласованно. Эти знания помогают решать задачи о телах вращения и находить вместимость реальных объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до заданной точки не превышает заданного числа. Точку обозначают O и называют центром, а число R — радиусом шара; значит, OP ≤ R для любой точки P шара. В отличие от сферы, шар включает внутренние точки. Это определение помогает понять, какую именно часть пространства нужно измерить.
Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая одной плоскостью. Высота сегмента h — расстояние от секущей плоскости до наиболее удалённой от неё точки сегмента, а R по-прежнему обозначает радиус всего шара. Сегмент может быть небольшим или почти всем шаром. Пара R и h определяет его объём.
Шаровой слой — часть шара между двумя параллельными плоскостями. Его высота h равна расстоянию между плоскостями, а r₁ и r₂ — радиусы кругов, которые плоскости вырезают в шаре. Эти радиусы не следует путать с R: они описывают основания слоя, а не весь шар. Обозначения позволяют применить формулу для двух сечений.
Шаровой сектор — тело, ограниченное частью шаровой поверхности и конической поверхностью с вершиной в центре шара. Для сектора используют радиус R шара и высоту h соответствующего шарового сегмента. Эта высота задаёт, насколько далеко проходит ограничивающая плоскость от крайней точки сегмента. Понятия сегмента и сектора связаны, но обозначают разные тела.
Формулу объёма шара можно понять через вписанные многогранники: их вершины располагают на поверхности шара, а сами тела целиком помещаются внутри него. Чем больше граней и чем точнее они повторяют округлую поверхность, тем меньше разница между объёмами многогранника и шара. В пределе эта разница стремится к нулю, поэтому объём шара получают как предел объёмов таких тел. Результат выражается формулой V = 4⁄3·πR³: объём растёт как куб радиуса.
Чтобы получить объём сегмента, представляют его как результат сечения шара и учитывают круговые поперечные сечения. Площадь такого сечения меняется с высотой по теореме Пифагора: если плоскость отстоит от центра на расстояние x, радиус сечения в квадрате равен R² − x². Суммирование площадей тонких сечений по высоте даёт V = πh²(R − h⁄3). Здесь h — именно высота сегмента; при h = R получается половина шара, что служит проверкой формулы.
Шаровой слой состоит из тонких круговых сечений между двумя плоскостями. Радиус каждого такого круга меняется по мере движения вдоль высоты, а площадь круга равна πr²; суммирование этих площадей приводит к формуле V = πh⁄6·(3r₁² + 3r₂² + h²). В неё входят оба крайних радиуса, потому что слой ограничен двумя основаниями. Если радиусы и высота заданы независимо, нужно дополнительно убедиться, что они могут принадлежать одному шару.
Шаровой сектор связан с шаровым сегментом: коническая поверхность с вершиной в центре вместе с частью сферы ограничивает сектор, соответствующий сегменту высоты h. При вычислении объёма учитывается и радиус шара, и высота этого сегмента. Формула V = 2⁄3·πR²h получается из соотношения объёмов тонких частей, а не из простого умножения площади основания на высоту. Поэтому для сектора нельзя подставлять высоту конуса вместо h, если она не совпадает с высотой соответствующего сегмента.
Выбор формулы начинается с модели: целый шар, одна отсечённая часть, промежуток между двумя плоскостями или сектор с вершиной в центре. Затем выписывают только те размеры, которые требуются формуле, и переводят их в одинаковые единицы. Проверка размерности показывает, что в каждом случае результат имеет размерность длина³. Полезно также проверить крайний или частный случай: например, при h = 0 объём сегмента равен нулю.
| Тело | Данные | Формула объёма |
|---|---|---|
| Шар | R — радиус | V = 4⁄3·πR³ |
| Шаровой сегмент | R — радиус шара, h — высота сегмента | V = πh²(R − h⁄3) |
| Шаровой слой | h — высота, r₁ и r₂ — радиусы оснований | V = πh⁄6·(3r₁² + 3r₂² + h²) |
| Шаровой сектор | R — радиус шара, h — высота соответствующего сегмента | V = 2⁄3·πR²h |
Сначала найдите в условии форму тела и соответствующие ей величины из столбца «Данные». Затем выберите формулу и проверьте единицы измерения перед подстановкой. Если заданы радиусы сечений, а не радиус шара, используйте формулу слоя, а не шара.
Тело целиком является шаром, поэтому нужна формула V = 4⁄3·πR³. Радиус уже дан в сантиметрах, переводить его не требуется. Возведём радиус в куб, затем умножим на коэффициент формулы. Полученный объём будет выражен в кубических сантиметрах.
Ответ: 36π см³, или приблизительно 113,1 см³. Степень радиуса равна трём, поэтому единица объёма именно см³. Округление можно выполнить только после вычислений с π.
Плоскость отсекает один сегмент, а в условии названы радиус шара и высота сегмента. Значит, используем V = πh²(R − h⁄3), а не формулу слоя с двумя основаниями. Подставим сантиметры без изменения единиц. Сначала вычислим выражение в скобках, затем умножим на πh².
Ответ: 52π⁄3 см³, или приблизительно 54,5 см³. Высота сегмента равна 2 см, а не расстоянию от центра шара до плоскости. Результат меньше объёма всего шара радиуса 5 см, как и должно быть для его части.
Для слоя указаны радиус шара 5 см, расстояние между плоскостями 4 см и радиусы сечений 3 см и 4 см. По формуле слоя формально можно подставить три последних величины, однако сначала проверим, существуют ли такие сечения в одном шаре. Для шара радиуса 5 см радиус сечения 3 см соответствует расстоянию от центра 4 см, а радиус 4 см — расстоянию 3 см. Эти плоскости на одной стороне центра разделены на 1 см, а на разных сторонах — на 7 см, не на 4 см.
Ответ: такого шарового слоя с указанными данными не существует, поэтому его объём определить нельзя. Прямая подстановка в формулу дала бы число, но оно не описывало бы реальное тело. Проверка геометрической согласованности данных здесь обязательна.
Первая ошибка — путать радиус шара R с радиусом круга сечения r. Их допускают потому, что оба обозначают расстояния в круговой геометрии. Проверьте смысл каждой величины по условию: R идёт от центра до поверхности, r — от центра сечения до его окружности. Если формула требует оба вида радиусов, подменять один другим нельзя.
Вторая ошибка — принимать расстояние от центра до плоскости за высоту сегмента. Высота сегмента отсчитывается от плоскости до крайней точки части шара, поэтому при секущей плоскости внутри шара эти расстояния обычно различны. Отметьте на схеме центр, плоскость и конец сегмента и прочитайте нужный отрезок. При сомнении проверьте, что высота лежит между 0 и 2R.
Третья ошибка — считать слой сегментом и применять формулу с одним основанием. Это происходит, когда внимание сосредоточено на слове «часть», а число ограничивающих плоскостей не учитывается. У слоя два параллельных основания, поэтому нужны оба радиуса и формула V = πh⁄6·(3r₁² + 3r₂² + h²). Сверьте набор данных задачи с буквами в формуле.
Четвёртая ошибка — забывать куб единицы или неверно вычислять R³. Объём измеряется в кубических единицах, поскольку в формулах перемножаются три длины. Проверьте отдельно арифметику степени и запишите, например, см³, а не см. Если в условии есть сантиметры и метры, сначала приведите все размеры к одной единице.
Для работы с объёмами частей шара нужны формулы объёма цилиндра и конуса, а также площадь круга: круговые сечения объясняют, как меняется тело по высоте. Теорема Пифагора связывает радиус шара, радиус сечения и расстояние от центра до плоскости. Без этого можно ошибиться, проверяя данные задачи на геометрическую возможность. Позже формулы пригодятся для тел вращения, комбинированных тел и практических расчётов вместимости.
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — это только поверхность, все точки которой находятся от центра на расстоянии R. Шар включает и эту поверхность, и все точки внутри неё, поэтому у шара есть объём, а у сферы объёма нет.
Как найти объём шарового сегмента, если известны радиус шара и высота сегмента?
Подставьте радиус шара R и высоту сегмента h в формулу V = πh²(R − h⁄3). Высота измеряется от секущей плоскости до крайней точки сегмента, а не от центра шара до плоскости.
Какие данные нужны для вычисления объёма шарового слоя?
Нужны высота слоя h и радиусы r₁ и r₂ кругов, которыми слой ограничен. Затем применяют формулу V = πh⁄6·(3r₁² + 3r₂² + h²), предварительно проверив, что размеры соответствуют одному шару.
Почему формула объёма шарового сектора зависит от высоты соответствующего сегмента?
Шаровой сектор связан с сегментом, который имеет ту же вершину и ограничен той же плоскостью. Его объём выражается через высоту этого сегмента h и радиус шара R: V = 2⁄3·πR²h.
Как проверить, что полученный объём имеет правильную размерность?
В каждой формуле длины должны дать размерность длины в третьей степени. Например, в формуле шара R³, а в формуле сегмента h²(R − h⁄3) имеет размерность длина³; ответ записывают в кубических единицах.
§ 17. Объем шара и его частей
