§ 18. Площадь поверхности

Определения и обозначения

Площадь поверхности тела — сумма площадей всех его граней или частей поверхности. Она показывает, сколько материала нужно, например, чтобы покрыть тело снаружи. Площадь измеряют в квадратных единицах: см², дм², м².

Боковая поверхность — часть поверхности многогранника или тела вращения без оснований. Её площадь обычно обозначают Sбок. Это обозначение помогает отдельно вычислить площадь боковой части, не смешивая её с площадью оснований.

Полная поверхность — вся внешняя поверхность тела, включая боковую часть и основания. Её площадь обозначают Sполн и находят сложением площадей этих частей: Sполн = Sбок + сумма площадей оснований. Сколько оснований прибавлять, зависит от тела.

Развёртка поверхности — плоская фигура, полученная, если разрезать поверхность и разложить её на плоскости без наложений и разрывов. Она сохраняет размеры частей поверхности. По развёртке удобно находить площади боковых частей, пользуясь знакомыми формулами для плоских фигур.

Как это устроено

Поверхность тела состоит из отдельных участков, поэтому её площадь можно получить сложением площадей этих участков. У многогранника участками служат плоские грани, а у тел вращения — основания и боковая поверхность. Такой подсчёт удобен тем, что площадь каждой простой части можно найти отдельно, а затем сложить результаты. При этом участки не должны перекрываться или оставаться неучтёнными.

Развёртка превращает изогнутую или сложенную поверхность в плоскую фигуру, части которой можно измерить обычными способами. Если распрямлять её без растяжения и разрывов, размеры участков не меняются, а значит, не меняются и их площади. Поэтому площадь боковой поверхности можно вычислять по площади её развёртки. Для разных тел развёртка имеет разную форму: например, прямоугольник у цилиндра и набор треугольников у пирамиды.

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте h. Если последовательно развернуть её боковые грани, они образуют один прямоугольник: одна его сторона равна высоте, а другая складывается из сторон основания, то есть равна его периметру Pосн. Площадь прямоугольника равна произведению сторон, поэтому Sбок = Pосн·h. Для полной площади к ней добавляют площади обоих равных оснований: Sполн = Pосн·h + 2Sосн.

У цилиндра боковая поверхность при развёртывании тоже становится прямоугольником. Его высота равна h, а ширина равна длине окружности основания, то есть 2πr; отсюда Sбок = 2πrh. Полная поверхность содержит ещё два круглых основания площадью πr² каждое, поэтому Sполн = 2πrh + 2πr². Здесь r — радиус основания, а h — высота цилиндра.

У правильной пирамиды боковая поверхность состоит из равных треугольников, высота каждого из которых — апофема l, то есть высота боковой грани, проведённая к стороне основания. Сумма площадей треугольников равна половине произведения периметра основания на апофему: Sбок = Pосн·l/2. У прямого кругового конуса развёртка боковой части — сектор с радиусом, равным образующей l, а длина его дуги равна длине окружности основания 2πr. Поэтому площадь боковой части равна πrl; для полной площади к ней прибавляют площадь основания πr².

Площади поверхностей основных тел

Сначала выбери строку, соответствующую телу, затем подставь данные в формулу боковой площади и отдельно учти основания. Здесь Pосн — периметр основания, Sосн — его площадь, h — высота, r — радиус, l — апофема пирамиды или образующая конуса. У шара поверхность не делят на боковую часть и основания.

Разбор задач

Задача 1. Прямая призма

Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см, высота призмы — 5 см. Найдите площадь полной поверхности. Нужно найти площадь боковой части и двух оснований, поэтому сначала вычислим периметр и площадь прямоугольника-основания. В формулах длины заданы в сантиметрах, а результат будет в квадратных сантиметрах.

1. Периметр основания: Pосн = 2·(3 + 4) = 14 см.
2. Боковая площадь: Sбок = Pосн·h = 14·5 = 70 см².
3. Площадь одного основания: Sосн = 3·4 = 12 см², двух оснований — 2·12 = 24 см².
4. Полная площадь: Sполн = 70 + 24 = 94 см².

Ответ: 94 см². Периметр основания используется для боковой поверхности, а площадь основания — для двух торцевых граней призмы. Если бы прибавили только 12 см², второе основание осталось бы неучтённым.

Задача 2. Цилиндр

Найдите площадь полной поверхности цилиндра с радиусом основания 2 см и высотой 7 см. Полная поверхность складывается из боковой части и двух кругов. Сначала используем данные для боковой площади, затем найдём и прибавим площади оснований.

1. Боковая площадь: Sбок = 2πrh = 2π·2·7 = 28π см².
2. Площадь двух оснований: 2πr² = 2π·2² = 8π см².
3. Полная площадь: Sполн = 28π + 8π = 36π см².

Ответ: 36π см² (примерно 113,1 см²). Радиус в формуле основания возводится в квадрат, а не умножается на высоту. Можно оставить точный ответ с π или вычислить приближённое значение.

Задача 3. Правильная четырёхугольная пирамида

Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания 6 см и апофему 5 см. Найдите площадь полной поверхности. Основание — квадрат, а апофема нужна для нахождения площади боковых треугольников. Поэтому отдельно вычислим площадь боковой части и квадрата, затем сложим их.

1. Периметр основания: Pосн = 4·6 = 24 см.
2. Боковая площадь: Sбок = Pосн·l/2 = 24·5/2 = 60 см².
3. Площадь основания-квадрата: Sосн = 6² = 36 см².
4. Полная площадь: Sполн = 60 + 36 = 96 см².

Ответ: 96 см². Апофема здесь является высотой боковых треугольников, а не высотой пирамиды. Подстановка другой длины вместо апофемы изменила бы площадь боковых граней.

Типичные ошибки

Путают боковую и полную площади. Тогда площадь оснований не прибавляют, потому что сосредотачиваются на найденной боковой части. Проверь, перечислены ли в ответе все внешние части тела: у призмы и цилиндра нужно учесть два основания, у пирамиды и конуса — одно.

Подставляют площадь основания вместо его периметра в формулу боковой площади призмы. Такое смешение возникает из-за того, что для полной площади используют и периметр, и площадь основания. Сверь формулу с развёрткой: сторона прямоугольника боковой развёртки равна периметру основания, значит Sбок = Pосн·h.

Путают высоту тела с апофемой пирамиды или образующей конуса. Эти длины связаны с разными элементами фигуры, хотя все они измеряются в единицах длины. Для проверки изобрази нужную развёртку: в боковой грани пирамиды нужна высота треугольника, а в секторе конуса радиус равен образующей.

Складывают площади с разными единицами или забывают квадратную единицу. Это случается, если длины не перевели в одинаковые единицы либо ответ записали в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Перед сложением приведи все площади к одинаковым единицам, а в ответе укажи см², м² или другую квадратную единицу.

Связь с другими темами

Для нахождения поверхности нужны формулы площадей плоских фигур, периметр многоугольника и длина окружности. Развёртки связывают плоскую геометрию с многогранниками и телами вращения: чтобы применить формулу, нужно знать их основания, высоты и боковые элементы. Эти вычисления встречаются в задачах на объёмы, где сравнивают характеристики тел, а также на подобие. В практических расчётах площади помогают определить количество материала для покрытия или изготовления оболочки.

Что запомнить

• Полная площадь поверхности включает все части поверхности тела.
• Площадь боковой поверхности не включает основания.
• Площадь развёртки равна площади соответствующей поверхности тела.
• Для прямой призмы площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту.
• У цилиндра площадь боковой поверхности равна 2πrh.
• У конуса площадь боковой поверхности равна πrl, где l — образующая.
• Площадь поверхности шара равна 4πr².