"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Площадь поверхности показывает, сколько места занимает внешняя оболочка тела. Её находят по развёртке: мысленно раскрывают поверхность и вычисляют площади получившихся плоских фигур. Для многогранника складывают площади граней, а для цилиндра, конуса и сферы используют специальные формулы. Главная задача — понять, какие части входят в ответ: только боковая поверхность или она вместе с основаниями. Это нужно, например, чтобы рассчитать материал для упаковки или покрытия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь поверхности тела — суммарная площадь всех его граней или криволинейных частей. Чтобы найти её, поверхность мысленно разрезают и разворачивают на плоскость, а затем складывают площади получившихся фигур. Такая развёртка помогает увидеть, какие части нужно учитывать, и свести задачу к знакомым формулам площадей.
Боковая поверхность — часть поверхности тела без основания или оснований. У призмы это боковые грани, у пирамиды — треугольные грани, сходящиеся в вершине, у цилиндра — криволинейная часть между кругами, а у конуса — поверхность от вершины до окружности основания. Это понятие помогает отделить боковую часть от основания.
Площадь боковой поверхности — площадь только этой боковой части. Она отличается от площади всей поверхности тем, что не включает основания. Её находят, когда нужно узнать, например, сколько материала требуется на боковую оболочку предмета, не закрывая его верх и низ.
Площадь полной поверхности — сумма площади боковой поверхности и площадей всех оснований тела. У призмы и цилиндра оснований два, у пирамиды и конуса — одно. Это обозначение используют, если требуется учесть всю внешнюю оболочку, включая торцы или дно.
У многогранника поверхность состоит из плоских многоугольников — граней. Если сложить их площади, каждая часть поверхности будет учтена ровно один раз, поскольку грани не перекрывают друг друга. Развёртка делает это сложение наглядным: грани оказываются рядом, и становится проще определить их форму и размеры. Поэтому для многогранника площадь поверхности находят по площади каждой грани, а затем складывают результаты.
У призмы боковые грани образуют полосу вокруг основания, а два одинаковых основания закрывают её сверху и снизу. Поэтому полная площадь получается, если к боковой площади прибавить 2Sосн. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники: их ширины в сумме составляют периметр основания, а высота каждой равна высоте призмы. Значит, общая площадь этих прямоугольников равна Pосн·h; для наклонной призмы такого простого вывода в общем случае нет.
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника, проведённая к стороне основания, называется апофемой пирамиды и обозначается l. Площадь каждой грани равна половине произведения её основания на l; при сложении оснований всех граней получается периметр основания. Поэтому Sбок = ½·Pосн·l, а для полной площади дополнительно учитывают одно основание.
Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник: одна его сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr. Произведение этих сторон даёт Sбок = 2πrh. У конуса развёртка боковой части — сектор круга радиуса l, где l — образующая от вершины до окружности основания. Длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr, поэтому площадь сектора равна половине произведения 2πr на l, то есть πrl.
Сфера не состоит из плоских граней, поэтому её площадь нельзя получить обычным сложением площадей многоугольников развёртки. Геометрическое соотношение для сферы даёт формулу S = 4πr²: площадь зависит от квадрата радиуса, как и другие площади — от квадрата линейного масштаба. Если радиус увеличить вдвое, площадь станет в четыре раза больше. Следовательно, перед подстановкой особенно важно различать радиус и диаметр.
| Тело и условие | Площадь боковой поверхности | Площадь полной поверхности |
|---|---|---|
| Прямая призма | Sбок = Pосн·h | Sполн = Sбок + 2Sосн |
| Правильная пирамида | Sбок = ½·Pосн·l | Sполн = Sбок + Sосн |
| Цилиндр | Sбок = 2πrh | Sполн = 2πr(h + r) |
| Конус | Sбок = πrl | Sполн = πr(l + r) |
| Сфера | Боковая поверхность не выделяется | Sполн = 4πr² |
Сначала проверьте, совпадает ли тело и условие задачи с указанными в таблице: например, формула призмы здесь дана для прямой призмы. Затем подставьте известные величины, а если нужна полная площадь, учтите все основания. Буквы r, h и l обозначают соответственно радиус, высоту и образующую либо апофему — их значение зависит от тела.
Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см, высота призмы 4 см. Найдём площадь боковой и полной поверхности. Для боковой площади понадобится периметр основания, а для полной — ещё и площадь прямоугольника-основания. У призмы два одинаковых основания.
Ответ: Sбок = 64 см², Sполн = 94 см². Проверка размерности подтверждает результат: длины перемножаются, поэтому площади получены в квадратных сантиметрах. При полной площади оба основания учтены.
Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 7 см. Требуется найти площади боковой и полной поверхностей. Сначала окружность основания определяет ширину развёртки боковой части, а высота — её вторую сторону. Для полной площади дополнительно понадобятся два круглых основания.
Ответ: Sбок = 42π см², Sполн = 60π см². Приближённо это 131,9 см² и 188,5 см². Можно оставить ответ с π, если приближённое значение не требуется.
Радиус основания конуса равен 5 см, высота — 12 см. Нужно найти полную площадь, состоящую из боковой поверхности и одного основания. Формула боковой площади содержит образующую, а не высоту, поэтому сначала найдём длину этого отрезка. Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник.
Ответ: Sполн = 90π см², или приблизительно 282,7 см². Если бы вместо образующей подставили высоту 12 см, боковая площадь оказалась бы неверной. Вычисления показывают, почему нужный отрезок следует определить до применения формулы.
Площадь боковой поверхности иногда принимают за полную и забывают прибавить основания. Это происходит, когда формулу выбирают, не перечитав вопрос задачи. Проверьте, требуется ли учесть всю оболочку: если да, добавьте площади всех оснований, а для призмы и цилиндра — двух.
Для любой призмы могут применить Sбок = Pосн·h, хотя формула в таком виде относится к прямой призме. Ошибка возникает из-за переноса знакомого правила на наклонную призму без проверки условия. Убедитесь, что боковые рёбра перпендикулярны основаниям; иначе простую формулу использовать нельзя.
В формулу конуса Sбок = πrl иногда подставляют высоту вместо образующей. Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая идёт по наклонной боковой поверхности, поэтому это разные отрезки. На схеме или по данным задачи проверьте, какой именно отрезок известен, и при необходимости найдите образующую по теореме Пифагора.
Радиус могут спутать с диаметром или забыть возвести его в квадрат при вычислении площади сферы. Часто это случается из-за невнимательной подстановки в формулу S = 4πr². Перед вычислением подпишите, что дано: если указан диаметр d, найдите r = d/2, а в результате проверьте квадратные единицы.
Для вычисления площади поверхности нужны формулы площадей многоугольников и умение находить периметр основания. В задачах о конусе может понадобиться теорема Пифагора, чтобы связать радиус, высоту и образующую. Развёртка соединяет геометрию тел с планиметрией: поверхность превращается в плоские фигуры, площади которых уже знакомы.
Эти формулы применяют не только в задачах по геометрии. По площади поверхности можно оценить, сколько материала потребуется для упаковки или покрытия тела. В задачах на объём она помогает учитывать внешние размеры и форму предмета, хотя объём и площадь поверхности описывают разные свойства.
Чем площадь боковой поверхности отличается от площади полной?
Площадь боковой поверхности учитывает только боковую часть тела, без оснований. Полная площадь включает боковую поверхность и площади всех оснований.
Почему у призмы к боковой поверхности прибавляют площади двух оснований?
У призмы два равных основания — верхнее и нижнее. Они не входят в боковую поверхность, поэтому для полной площади прибавляют их площади обе, то есть 2Sосн.
Что такое образующая конуса и чем она отличается от высоты?
Образующая — отрезок на боковой поверхности конуса от вершины до точки окружности основания. Высота идёт от вершины перпендикулярно плоскости основания; поэтому она обычно короче образующей.
Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
Сложить площадь боковой поверхности 2πrh с площадями двух оснований, каждая из которых равна πr². Получается формула Sполн = 2πr(h + r).
Почему площадь сферы зависит от квадрата радиуса?
Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому при увеличении радиуса в несколько раз площадь растёт пропорционально квадрату этого числа. Формула площади сферы — 4πr².
§ 42. Площадь поверхности
